Calcule:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace! A gente precisa achar a transformada inversa da função . Isso está relacionado à matéria de Transformadas de Laplace, que é muito usada para resolver equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão algébrica e aplicar algumas propriedades das transformadas de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o numerador . Isso nos dá:
Então, a expressão original fica:

Passo 3

Agora, vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador :
Vamos simplificar cada fração separadamente.

Passo 4

Observamos que pode ser reescrito como . Sabemos que:
Aplicando isso:
Então, elevando ao quadrado:

Passo 5

Agora, voltando à expressão original:
Vamos simplificar isso ainda mais.

Passo 6

Juntando os termos semelhantes:
Agora, precisamos reescrever de forma que possamos aplicar a transformada inversa.

Passo 7

Observamos que:
Substituindo de volta:

Passo 8

Agora, temos a expressão simplificada:
Vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente.

Passo 9

Sabemos que:
çã
Aplicando essas propriedades:

Passo 10

Calculando cada termo:

Resposta

Juntando tudo, a transformada inversa é:

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Calcule:
Escreva cada uma das funções em termos de funções de degrau unitário e ache a transformada de Laplace da função dada.