Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace! A gente precisa achar a transformada inversa da função
. Isso está relacionado à matéria de Transformadas de Laplace, que é muito usada para resolver equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão algébrica e aplicar algumas propriedades das transformadas de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o numerador
. Isso nos dá:
Então, a expressão original fica:
Passo 3
Agora, vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador
:
Vamos simplificar cada fração separadamente.
Passo 4
Observamos que
pode ser reescrito como
. Sabemos que:
Aplicando isso:
Então, elevando ao quadrado:
Passo 5
Agora, voltando à expressão original:
Vamos simplificar isso ainda mais.
Passo 6
Juntando os termos semelhantes:
Agora, precisamos reescrever
de forma que possamos aplicar a transformada inversa.
Passo 7
Observamos que:
Substituindo de volta:
Passo 8
Agora, temos a expressão simplificada:
Vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente.
Passo 9
Sabemos que:
Aplicando essas propriedades:
Passo 10
Calculando cada termo:
Resposta
Juntando tudo, a transformada inversa é:
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Calcule as transformadas de Laplace inversas:
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Calcule:
Escreva cada uma das funções em termos de funções de degrau unitário e ache a transformada de Laplace da função dada.