Escreva cada uma das funções em termos de funções de degrau unitário e ache a transformada de Laplace da função dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que muda de valor dependendo do tempo . Nosso objetivo é escrever essa função usando funções de degrau unitário e, depois, encontrar a transformada de Laplace dela. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função de degrau unitário e como aplicar a transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função dada:
Isso significa que para entre 0 e 1, a função vale 0, e para a partir de 1, ela passa a valer .

Passo 3

Agora, vamos reescrever usando a função de degrau unitário, também conhecida como função . A função é zero para e um para . Então, podemos expressar da seguinte forma:
Isso porque para , , tornando , e para , , assim .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a transformada de Laplace de . A transformada de Laplace de é dada por:
No nosso caso, e . Vamos substituir esses valores na fórmula.

Passo 5

Substituindo e na fórmula:

Resposta

A transformada de Laplace da função dada é:

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