Escreva cada uma das funções em termos de funções de degrau unitário e ache a transformada de Laplace da função dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que muda de valor dependendo do tempo
. Nosso objetivo é escrever essa função usando funções de degrau unitário e, depois, encontrar a transformada de Laplace dela. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função de degrau unitário e como aplicar a transformada de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função dada:
Isso significa que para
entre 0 e 1, a função vale 0, e para
a partir de 1, ela passa a valer
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever
usando a função de degrau unitário, também conhecida como função
. A função
é zero para
e um para
. Então, podemos expressar
da seguinte forma:
Isso porque para
,
, tornando
, e para
,
, assim
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a transformada de Laplace de
. A transformada de Laplace de
é dada por:
No nosso caso,
e
. Vamos substituir esses valores na fórmula.
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula:
Resposta
A transformada de Laplace da função dada é: