Calcule as transformadas de Laplace inversas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada de Laplace inversa da função
. Isso está na área de transformadas de Laplace, especificamente lidando com frações racionais. Para resolver, vamos precisar fazer uma decomposição em frações parciais e depois aplicar as transformadas inversas conhecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a decomposição em frações parciais. Queremos expressar
como uma soma de frações mais simples. Vamos supor que:
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os valores de
,
,
e
substituindo valores estratégicos de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora que temos os valores de
,
,
e
, podemos escrever a decomposição completa:
Passo 6
Vamos simplificar isso:
Passo 7
Agora, aplicamos a transformada de Laplace inversa a cada termo. Sabemos que:
Aplicando isso a cada termo:
Resposta
A transformada de Laplace inversa é:
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