Calcule as transformadas de Laplace inversas:
L^{-1} { (s^2 + 1) / (s(s - 1)(s + 1)(s - 2)) }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada de Laplace inversa da função . Isso está na área de transformadas de Laplace, especificamente lidando com frações racionais. Para resolver, vamos precisar fazer uma decomposição em frações parciais e depois aplicar as transformadas inversas conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a decomposição em frações parciais. Queremos expressar como uma soma de frações mais simples. Vamos supor que:

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os valores de , , e substituindo valores estratégicos de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Agora que temos os valores de , , e , podemos escrever a decomposição completa:

Passo 6

Vamos simplificar isso:

Passo 7

Agora, aplicamos a transformada de Laplace inversa a cada termo. Sabemos que:
Aplicando isso a cada termo:

Resposta

A transformada de Laplace inversa é:

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