Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial com condições iniciais e pede para resolver usando a transformada de Laplace. O conteúdo envolve equações diferenciais ordinárias e o uso da transformada de Laplace para encontrar soluções. Vamos precisar lembrar como aplicar a transformada de Laplace nas derivadas e nas funções trigonométricas.
A equação é:

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembre-se que a transformada de Laplace da derivada segunda, , é dada por:
E a transformada de é:

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace na equação diferencial:
Substituindo as transformadas:
Simplificando:

Passo 4

Agora, isolamos :
Então:

Passo 5

Vamos separar os termos para facilitar a inversa da transformada:
Para o segundo termo, podemos usar frações parciais. Suponha que:
Multiplicando ambos os lados por :
Comparando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Então:

Passo 6

Agora, substituímos de volta em :

Passo 7

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo:

Passo 8

Juntando tudo:

Resposta

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Calcule:
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