Calcule onde sent

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a transformada de Laplace de . Aqui, estamos trabalhando com transformadas de Laplace, uma ferramenta muito útil em matemática para transformar funções do tempo para a frequência , facilitando a resolução de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a fórmula da transformada de Laplace para funções do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral da transformada de Laplace para :
Essa fórmula nos diz como transformar uma função exponencial multiplicada por um seno.

Passo 3

No nosso caso, a função é . Comparando com a fórmula geral, vemos que e . Ou seja, a exponencial tem o coeficiente e o seno tem frequência .

Passo 4

Substituindo e na fórmula, temos:
Simplificando, ficamos com essa expressão para a transformada de Laplace.

Resposta

Portanto, a transformada de Laplace de é:

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6.4 Equações Diferenciais sob a Ação de Funções Descontínuas
Em cada um dos problemas de 1 a 13:
(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(b) Desenhe os gráficos da solução e do termo não homogêneo; explique a relação entre eles.
1.
satisfaz a equação .
Encontre a transformada de Laplace da função dada.
22.
satisfaz a equação