Calcule a matriz fundamental phi(t) do sistema X' = [[-1, 1], [8, 1]] X Resp. phi(t) = [[e^(3t), e^(-3t)], [4e^(3t), -2e^(-3t)]].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a matriz fundamental phi(t) de um sistema de equações diferenciais da forma , onde A é uma matriz 2 * 2. Para isso, vamos precisar entender como encontrar os autovalores e autovetores da matriz A, pois eles são essenciais para construir a matriz fundamental.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Para isso, resolvemos a equação característica , onde I é a matriz identidade.

Passo 3

Calculando a determinante:
Isso nos dá os autovalores e .

Passo 4

Com os autovalores encontrados, vamos achar os autovetores correspondentes. Primeiro, para :
Resolvemos :
Da primeira linha: . Podemos escolher , então o autovetor é .

Passo 5

Agora, para :
Resolvemos :
Da primeira linha: . Podemos escolher , então o autovetor é .

Passo 6

Com os autovalores e autovetores, podemos construir a matriz fundamental. Cada coluna da matriz fundamental é formada pelo autovetor multiplicado pelo exponencial do autovalor correspondente:

Resposta

A matriz fundamental é .

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