Calcule a matriz fundamental
do sistema
Resp.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a matriz fundamental
de um sistema de equações diferenciais da forma
, onde
é uma matriz
. Para isso, vamos precisar entender como encontrar os autovalores e autovetores da matriz
, pois eles são essenciais para construir a matriz fundamental.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Para isso, resolvemos a equação característica
, onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Calculando a determinante:
Isso nos dá os autovalores
e
.
Passo 4
Com os autovalores encontrados, vamos achar os autovetores correspondentes. Primeiro, para
:
Resolvemos
:
Da primeira linha:
. Podemos escolher
, então o autovetor é
.
Passo 5
Agora, para
:
Resolvemos
:
Da primeira linha:
. Podemos escolher
, então o autovetor é
.
Passo 6
Com os autovalores e autovetores, podemos construir a matriz fundamental. Cada coluna da matriz fundamental é formada pelo autovetor multiplicado pelo exponencial do autovalor correspondente:
Resposta
A matriz fundamental é
.