Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral e^3 x sen(4 x) d x

Passo 1

Resumo da Questão: Precisamos calcular a integral indefinida . Vamos utilizar técnicas de cálculo integral, especificamente a integração por partes, para resolver essa integral.

Passo 2

Integração por Partes: Essa técnica é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Vamos identificar quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Escolhendo e :
  • : Fácil de derivar.
  • : Fácil de integrar.

Passo 4

Calculando du = ddx e^3x , dx = 3 e^3x , dx e v = integral sen(4x) , dx = -14 cos(4x) :

Passo 5

Aplicando a Fórmula de Integração por Partes:
Substituindo:
integral e^3x sen(4x) , dx = u cdot v - integral v cdot du

Passo 6

Simplificando a Expressão:
= -14 e^3x cos(4x) + 34 integral e^3x cos(4x) , dx
Agora, precisamos calcular a nova integral .

Passo 7

Aplicando Integração por Partes Novamente:
Escolhemos:

Passo 8

Calculando Novamente du = 3 e^3x , dx e v = integral cos(4x) , dx = 14 sen(4x) :

Passo 9

Aplicando a Fórmula:

Passo 10

Substituindo de Volta na Equação Anterior:

Passo 11

Simplificando a Equação:
Onde .

Passo 12

Isolando I + 916 I = -14 e^3x cos(4x) + 316 e^3x sen(4x) :

Passo 13

Resolvendo para I = 1625 ( -14 e^3x cos(4x) + 316 e^3x sen(4x) ) :
Multiplicamos ambos os lados por :

Passo 14

Simplificando os Coeficientes:

Passo 15

Adicionando a Constante de Integração:
Onde integral e^3x sen(4x) , dx = e^3x25 ( 3 sen(4x) - 4 cos(4x) ) + C é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a .

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