Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
Resumo da Questão: Precisamos calcular a integral indefinida . Vamos utilizar técnicas de cálculo integral, especificamente a integração por partes, para resolver essa integral.
Passo 2
Integração por Partes: Essa técnica é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula é:
Vamos identificar quais partes da nossa integral serão
e
.
Passo 3
Escolhendo
e
:
-
: Fácil de derivar. - : Fácil de integrar.
Passo 4
Calculando
e
:
Passo 5
Aplicando a Fórmula de Integração por Partes:
Substituindo:
Passo 6
Simplificando a Expressão:
Agora, precisamos calcular a nova integral
.
Passo 7
Aplicando Integração por Partes Novamente:
Escolhemos:
Escolhemos:
Passo 8
Calculando Novamente
e
:
Passo 9
Aplicando a Fórmula:
Passo 10
Substituindo de Volta na Equação Anterior:
Passo 11
Simplificando a Equação:
Onde .
Passo 12
Isolando
:
Passo 13
Resolvendo para
:
Multiplicamos ambos os lados por :
Multiplicamos ambos os lados por
Passo 14
Simplificando os Coeficientes:
Passo 15
Adicionando a Constante de Integração:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a .