(1,5 ponto) Encontre todos os valores possíveis de arccos(i).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar todos os valores possíveis de . O conteúdo aqui envolve funções trigonométricas inversas no contexto dos números complexos. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função arco cosseno se comporta quando trabalhamos com números imaginários, como o .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para números reais, o arco cosseno ( ) está definido apenas entre -1 e 1. Mas quando trabalhamos com números complexos, podemos estender essa definição. A fórmula geral para , onde é um número complexo, é:
Aqui, é o logaritmo natural e representa a função raiz quadrada no contexto complexo.

Passo 3

Vamos substituir por na fórmula:
Primeiro, calculamos :
Então, substituindo de volta:

Passo 4

Agora, precisamos calcular . Sabemos que , então:
Substituindo de volta:

Passo 5

Vamos simplificar . Para números complexos, o logaritmo pode ser expresso em termos de módulo e argumento:
Aqui, e (já que estamos no eixo imaginário positivo).
Então:

Passo 6

Voltando à expressão de :
Lembrando que :

Passo 7

Como estamos trabalhando com números complexos, devemos considerar todas as possíveis ramificações do logaritmo e da raiz quadrada. Isso adiciona múltiplos de ao argumento, então a solução geral será:
onde é qualquer inteiro.

Resposta

Todos os valores de são dados por:

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