(1,5 ponto) Encontre todos os valores possíveis de arccos(i).
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar todos os valores possíveis de
. O conteúdo aqui envolve funções trigonométricas inversas no contexto dos números complexos. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função arco cosseno se comporta quando trabalhamos com números imaginários, como o
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para números reais, o arco cosseno (
) está definido apenas entre -1 e 1. Mas quando trabalhamos com números complexos, podemos estender essa definição. A fórmula geral para
, onde
é um número complexo, é:
Aqui,
é o logaritmo natural e
representa a função raiz quadrada no contexto complexo.
Passo 3
Vamos substituir
por
na fórmula:
Primeiro, calculamos
:
Então, substituindo de volta:
Passo 4
Agora, precisamos calcular
. Sabemos que
, então:
Substituindo de volta:
Passo 5
Vamos simplificar
. Para números complexos, o logaritmo pode ser expresso em termos de módulo e argumento:
Aqui,
e
(já que estamos no eixo imaginário positivo).
Então:
Passo 6
Voltando à expressão de
:
Lembrando que
:
Passo 7
Como estamos trabalhando com números complexos, devemos considerar todas as possíveis ramificações do logaritmo e da raiz quadrada. Isso adiciona múltiplos de
ao argumento, então a solução geral será:
onde
é qualquer inteiro.
Resposta
Todos os valores de
são dados por: