Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral indefinida:
Estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais que envolvem funções trigonométricas e polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e manipulação de expressões trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar a substituição. Observe que
pode ser escrita como
. Além disso, sabemos que
. Então podemos reescrever a integral da seguinte forma:
Passo 3
Agora, vamos simplificar ainda mais multiplicando os termos:
Que pode ser simplificado para:
Passo 4
Aqui, vamos aplicar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos um produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
Para a primeira integral, vamos escolher:
-
⇒ -
⇒ precisamos encontrar
Para encontrar
, vamos integrar
:
Passo 5
Vamos realizar a substituição para encontrar
. Deixe
, então
, ou
.
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, aplicando a fórmula da integração por partes para a primeira integral:
Simplificando:
Passo 7
Agora, precisamos resolver a integral
. Vamos usar uma substituição novamente. Deixe
, então
.
Reescrevendo a integral:
Passo 8
A integral
é uma forma padrão que resulta em:
Simplificando:
Passo 9
Voltando à expressão original da integração por partes:
Simplificando:
Resposta
A integral indefinida é:
Onde
é a constante de integração.