Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral x sen^3 x raizcos x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral indefinida:
integral x cdot sin^3 x cdot raizcos x , dx
Estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais que envolvem funções trigonométricas e polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e manipulação de expressões trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar a substituição. Observe que integral x cdot sin x cdot (1 - cos^2 x) cdot raizcos x , dx pode ser escrita como . Além disso, sabemos que . Então podemos reescrever a integral da seguinte forma:

Passo 3

Agora, vamos simplificar ainda mais multiplicando os termos:
integral x cdot sin x cdot raizcos x , dx - integral x cdot sin x cdot cos^2 x cdot raizcos x , dx
Que pode ser simplificado para:
integral x cdot sin x cdot cos^1/2 x , dx - integral x cdot sin x cdot cos^5/2 x , dx

Passo 4

Aqui, vamos aplicar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos um produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Para a primeira integral, vamos escolher:
  • v = integral sin x cdot cos^1/2 x , dx
  • ⇒ precisamos encontrar
Para encontrar , vamos integrar :

Passo 5

Vamos realizar a substituição para encontrar v = integral sin x cdot cos^1/2 x , dx = -integral t^1/2 , dt = -23 t^3/2 + C = -23 cos^3/2 x + C . Deixe , então , ou .
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, aplicando a fórmula da integração por partes para a primeira integral:
integral x cdot sin x cdot cos^1/2 x , dx = u cdot v - integral v cdot du = x cdot (-23 cos^3/2 x) - integral (-23 cos^3/2 x) cdot dx
Simplificando:
= -23 x cos^3/2 x + 23 integral cos^3/2 x , dx

Passo 7

Agora, precisamos resolver a integral integral cos^3/2 x , dx = integral cos^1/2 x cdot cos x , dx = integral raizcos x cdot d(sin x) = integral raiz1 - t^2 , dt . Vamos usar uma substituição novamente. Deixe , então .
Reescrevendo a integral:

Passo 8

A integral t2 raiz1 - t^2 + 12 arcsin t + C = sin x2 raizcos x + 12 arcsin(sin x) + C é uma forma padrão que resulta em:
= sin x raizcos x2 + x2 + C
Simplificando:

Passo 9

Voltando à expressão original da integração por partes:
-23 x cos^3/2 x + 23 ( sin x raizcos x2 + x2 ) + C
Simplificando:
-23 x cos^3/2 x + 13 sin x raizcos x + 13 x + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral x cdot sin^3 x cdot raizcos x , dx = -23 x cos^3/2 x + 13 sin x raizcos x + 13 x + C
Onde é a constante de integração.

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