Resolva o PVI lX^prime=[cc-3 & -1 2 & -1] X X(0)=[c-1 0]. Resp. tau(t)=[csen t-cos t -2 sen t] e^-2 t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (PVI) que nos dá um sistema de equações diferenciais lineares. O enunciado é:
X' = -3 & -1 2 & -1 X X(0) = -1 0
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como autovalores e autovetores, e aplicar a teoria de sistemas de equações diferenciais. Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, vamos achar os autovalores da matriz dos coeficientes:
A = -3 & -1 2 & -1
Os autovalores ( det(A - lambda I) = 0 ) são soluções da equação característica:
det -3 - lambda & -1 2 & -1 - lambda = (-3 - lambda)(-1 - lambda) - (-1)(2)
Calculando o determinante:
(-3 - lambda)(-1 - lambda) + 2 = (lambda + 3)(lambda + 1) + 2 = lambda^2 + 4lambda + 5
Expandindo:
lambda^2 + 4lambda + 5 = 0
Então, a equação característica é:

Passo 3

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os autovalores:
lambda = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, lambda = -4 pm raiz16 - 202 = -4 pm raiz-42 = -4 pm 2i2 = -2 pm i , , e . Substituindo:
Então, os autovalores são complexos: e .

Passo 4

Com autovalores complexos, a solução geral do sistema tem a forma:
X(t) = e^alpha t [ C1 cos(beta t) sin(beta t) + C2 -sin(beta t) cos(beta t) ]
Onde X(t) = e^-2t [ C1 cos(t) sin(t) + C2 -sin(t) cos(t) ] é a parte real do autovalor e é a parte imaginária.
No nosso caso, e . Então:

Passo 5

Agora precisamos determinar as constantes -1 0 e X(0) = e^0 [ C1 1 0 + C2 0 1 ] = C1 C2 = -1 0 usando a condição inicial C1 = -1 e C2 = 0 .
Substituindo na solução geral:
Então, temos:

Passo 6

Substituindo X(t) = e^-2t [ -1 cos(t) sin(t) + 0 -sin(t) cos(t) ] = e^-2t -cos(t) -sin(t) e na solução geral:

Passo 7

Podemos reescrever a solução para ficar de acordo com a resposta esperada:
X(t) = sin(t) - cos(t) -2 sin(t) e^-2t

Resposta

tau(t) = sin(t) - cos(t) -2 sin(t) e^-2t

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