Calcule a matriz inversa das seguintes matrizes, usando as operações elementares sobre a matriz, isto é o Método de Gauss-Jordan.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz inversa da matriz
usando o Método de Gauss-Jordan, que envolve operações elementares na matriz. Para isso, vamos precisar lembrar como montar uma matriz aumentada e realizar operações de linha para chegar à matriz identidade do lado esquerdo e à inversa do outro lado.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada combinando a matriz
com a matriz identidade
do mesmo tamanho. A matriz identidade é
. Então, a matriz aumentada fica assim:
Passo 3
Agora, nosso objetivo é transformar a parte da esquerda da matriz aumentada (que é
) na matriz identidade. Para isso, vamos usar operações de linha: trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e somar múltiplos de uma linha a outra.
Primeiro, vamos transformar o primeiro elemento da primeira linha (
) em
. Para fazer isso, multiplicamos toda a primeira linha por
:
Passo 4
Em seguida, queremos que o elemento abaixo do
(na segunda linha, primeiro coluna) seja
. Para isso, vamos subtrair
vezes a primeira linha da segunda linha:
Passo 5
Agora, vamos transformar o elemento
da segunda linha em
. Multiplicamos a segunda linha por
:
Passo 6
Por último, vamos eliminar o
da primeira linha para obter a matriz identidade na parte da esquerda. Para isso, somamos
vezes a segunda linha à primeira linha:
Simplificando os valores:
Simplificando ainda mais:
Resposta
A matriz inversa de
é: