Calcule a matriz inversa das seguintes matrizes, usando as operações elementares sobre a matriz, isto é o Método de Gauss-Jordan.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz inversa da matriz usando o Método de Gauss-Jordan, que envolve operações elementares na matriz. Para isso, vamos precisar lembrar como montar uma matriz aumentada e realizar operações de linha para chegar à matriz identidade do lado esquerdo e à inversa do outro lado.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada combinando a matriz com a matriz identidade do mesmo tamanho. A matriz identidade é . Então, a matriz aumentada fica assim:

Passo 3

Agora, nosso objetivo é transformar a parte da esquerda da matriz aumentada (que é ) na matriz identidade. Para isso, vamos usar operações de linha: trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e somar múltiplos de uma linha a outra.
Primeiro, vamos transformar o primeiro elemento da primeira linha ( ) em . Para fazer isso, multiplicamos toda a primeira linha por :

Passo 4

Em seguida, queremos que o elemento abaixo do (na segunda linha, primeiro coluna) seja . Para isso, vamos subtrair vezes a primeira linha da segunda linha:

Passo 5

Agora, vamos transformar o elemento da segunda linha em . Multiplicamos a segunda linha por :

Passo 6

Por último, vamos eliminar o da primeira linha para obter a matriz identidade na parte da esquerda. Para isso, somamos vezes a segunda linha à primeira linha:
Simplificando os valores:
Simplificando ainda mais:

Resposta

A matriz inversa de é:

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Considere o Espaço Vetorial :
  • Como se definem as operações de adição e de multiplicação por escalar neste espaço?
  • Qual a interpretação geométrica dessas operações. Dê exemplos.
Seja . Defina
  • adição: se e , então ;
  • multiplicação por escalar: se , então .
    Quais das propriedades na definição de espaço vetorial não são válidas para com essas operações?