Seja
. Defina
- adição: se
e
, então
;
- multiplicação por escalar: se
, então
.
Quais das propriedades na definição de espaço vetorial não são válidas para
com essas operações?
Quais das propriedades na definição de espaço vetorial não são válidas para
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que foi pedido. Temos o conjunto
com duas operações definidas:
- Adição: Se
e , então . - Multiplicação por escalar: Se
, então .
Nos foi perguntado quais das propriedades que definem um espaço vetorial não são válidas para
com essas operações. Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as propriedades (axiomas) que um conjunto com essas operações precisa satisfazer para ser considerado um espaço vetorial. São elas:
- Fechamento da adição: A soma de dois vetores está no conjunto.
- Comutatividade da adição:
. - Associatividade da adição:
. - Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero tal que
para todo . - Existência de inverso aditivo: Para cada
, existe tal que . - Fechamento da multiplicação por escalar: O produto de um escalar e um vetor está no conjunto.
- Distributividade do escalar em relação à adição de vetores:
. - Distributividade do escalar em relação à adição de escalares:
. - Compatibilidade da multiplicação de escalares:
. - Elemento neutro da multiplicação por escalar:
.
Vamos verificar quais dessas propriedades não são satisfeitas com as operações dadas.
Passo 3
Propriedade 1: Fechamento da adição
A adição está definida como
, que claramente resulta em outro vetor de
. Então, essa propriedade é válida.
Passo 4
Propriedade 2: Comutatividade da adição
Como
, a adição é comutativa. Portanto, essa propriedade também é válida.
Passo 5
Propriedade 3: Associatividade da adição
Para três vetores
,
, e
:
Os dois lados são iguais, então a associatividade é válida.
Passo 6
Propriedade 4: Elemento neutro da adição
O vetor zero seria
, pois:
Portanto, existe um elemento neutro, e essa propriedade é válida.
Passo 7
Propriedade 5: Existência de inverso aditivo
Para cada
, o inverso aditivo seria
, pois:
Então, essa propriedade também é válida.
Passo 8
Propriedade 6: Fechamento da multiplicação por escalar
A multiplicação por escalar está definida como
. Como
é um número real, o resultado ainda está em
. Portanto, essa propriedade é válida.
Passo 9
Propriedade 10: Elemento neutro da multiplicação por escalar
Devemos verificar se
:
Portanto, essa propriedade é válida.
Passo 10
Propriedades problemáticas:
Vamos analisar as outras propriedades:
- Propriedade 7: Distributividade do escalar em relação à adição de vetores
Comparando os dois lados:
Para que sejam iguais,
, o que é verdadeiro para qualquer
. Portanto, essa propriedade parece válida.
- Propriedade 8: Distributividade do escalar em relação à adição de escalares
Comparando os dois lados:
A segunda componente não coincide, a menos que
. Portanto, esta propriedade não é válida.
- Propriedade 9: Compatibilidade da multiplicação de escalares
Os dois lados são iguais, então essa propriedade é válida.
Resposta
A única propriedade que não é válida para
com as operações definidas é a distributividade do escalar em relação à adição de escalares, ou seja:
Isso ocorre porque a segunda componente resulta em
de um lado e
do outro, o que somente se iguala quando
.
Exercícios relacionados
Considere o Espaço Vetorial
:
- Como se definem as operações de adição e de multiplicação por escalar neste espaço?
- Qual a interpretação geométrica dessas operações. Dê exemplos.
Calcule a matriz inversa das seguintes matrizes, usando as operações elementares sobre a matriz, isto é o Método de Gauss-Jordan.
Mostre que
é uma base para
. Depois encontre a as coordenadas de
nesta base; isto é, determine
.
Sabendo que
é outra base de
, encontre, para
usando mudança de base. Deixe explícito todas as matrizes de mudança de base que utilizar.