Seja V=R^2. Defina
  • adição: se v=(a, b) e u=(c, d), então v+u:=(a+c, b+d);
  • multiplicação por escalar: se alpha in R, então alpha v:=(alpha a, b).
    Quais das propriedades na definição de espaço vetorial não são válidas para V com essas operações?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que foi pedido. Temos o conjunto com duas operações definidas:
  • Adição: Se e , então .
  • Multiplicação por escalar: Se , então .
Nos foi perguntado quais das propriedades que definem um espaço vetorial não são válidas para com essas operações. Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as propriedades (axiomas) que um conjunto com essas operações precisa satisfazer para ser considerado um espaço vetorial. São elas:
  1. Fechamento da adição: A soma de dois vetores está no conjunto.
  2. Comutatividade da adição: .
  3. Associatividade da adição: .
  4. Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero tal que para todo .
  5. Existência de inverso aditivo: Para cada , existe tal que .
  6. Fechamento da multiplicação por escalar: O produto de um escalar e um vetor está no conjunto.
  7. Distributividade do escalar em relação à adição de vetores: .
  8. Distributividade do escalar em relação à adição de escalares: .
  9. Compatibilidade da multiplicação de escalares: .
  10. Elemento neutro da multiplicação por escalar: .
Vamos verificar quais dessas propriedades não são satisfeitas com as operações dadas.

Passo 3

Propriedade 1: Fechamento da adição
A adição está definida como , que claramente resulta em outro vetor de . Então, essa propriedade é válida.

Passo 4

Propriedade 2: Comutatividade da adição
Como , a adição é comutativa. Portanto, essa propriedade também é válida.

Passo 5

Propriedade 3: Associatividade da adição
Para três vetores (u + v) + w = (a + c, b + d) + (e, f) = (a + c + e, b + d + f) , u + (v + w) = (a, b) + (c + e, d + f) = (a + c + e, b + d + f) , e :
Os dois lados são iguais, então a associatividade é válida.

Passo 6

Propriedade 4: Elemento neutro da adição
O vetor zero seria v + 0 = (a + 0, b + 0) = (a, b) = v , pois:
Portanto, existe um elemento neutro, e essa propriedade é válida.

Passo 7

Propriedade 5: Existência de inverso aditivo
Para cada v + (-v) = (a - a, b - b) = (0, 0) = 0 , o inverso aditivo seria , pois:
Então, essa propriedade também é válida.

Passo 8

Propriedade 6: Fechamento da multiplicação por escalar
A multiplicação por escalar está definida como . Como é um número real, o resultado ainda está em . Portanto, essa propriedade é válida.

Passo 9

Propriedade 10: Elemento neutro da multiplicação por escalar
Devemos verificar se 1 v = (1 cdot a, b) = (a, b) = v :
Portanto, essa propriedade é válida.

Passo 10

Propriedades problemáticas:
Vamos analisar as outras propriedades:
  • Propriedade 7: Distributividade do escalar em relação à adição de vetores
alpha (u + v) = alpha (a + c, b + d) = (alpha (a + c), b + d)
alpha u + alpha v = (alpha a, b) + (alpha c, d) = (alpha a + alpha c, b + d)
Comparando os dois lados:
(alpha (a + c), b + d) vs (alpha a + alpha c, b + d)
Para que sejam iguais, (alpha + beta) v = ((alpha + beta) a, b) , o que é verdadeiro para qualquer alpha v + beta v = (alpha a, b) + (beta a, b) = (alpha a + beta a, b + b) = ((alpha + beta) a, 2b) . Portanto, essa propriedade parece válida.
  • Propriedade 8: Distributividade do escalar em relação à adição de escalares
((alpha + beta) a, b) vs ((alpha + beta) a, 2b)
alpha (beta v) = alpha (beta a, b) = (alpha beta a, b)
Comparando os dois lados:
(alpha beta) v = (alpha beta a, b)
A segunda componente não coincide, a menos que . Portanto, esta propriedade não é válida.
  • Propriedade 9: Compatibilidade da multiplicação de escalares
Os dois lados são iguais, então essa propriedade é válida.

Resposta

A única propriedade que não é válida para (alpha + beta) v neq alpha v + beta v com as operações definidas é a distributividade do escalar em relação à adição de escalares, ou seja:
Isso ocorre porque a segunda componente resulta em de um lado e do outro, o que somente se iguala quando .

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