Seja . Defina
  • adição: se e , então ;
  • multiplicação por escalar: se , então .
    Quais das propriedades na definição de espaço vetorial não são válidas para com essas operações?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que foi pedido. Temos o conjunto com duas operações definidas:
  • Adição: Se e , então .
  • Multiplicação por escalar: Se , então .
Nos foi perguntado quais das propriedades que definem um espaço vetorial não são válidas para com essas operações. Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as propriedades (axiomas) que um conjunto com essas operações precisa satisfazer para ser considerado um espaço vetorial. São elas:
  1. Fechamento da adição: A soma de dois vetores está no conjunto.
  2. Comutatividade da adição: .
  3. Associatividade da adição: .
  4. Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero tal que para todo .
  5. Existência de inverso aditivo: Para cada , existe tal que .
  6. Fechamento da multiplicação por escalar: O produto de um escalar e um vetor está no conjunto.
  7. Distributividade do escalar em relação à adição de vetores: .
  8. Distributividade do escalar em relação à adição de escalares: .
  9. Compatibilidade da multiplicação de escalares: .
  10. Elemento neutro da multiplicação por escalar: .
Vamos verificar quais dessas propriedades não são satisfeitas com as operações dadas.

Passo 3

Propriedade 1: Fechamento da adição
A adição está definida como , que claramente resulta em outro vetor de . Então, essa propriedade é válida.

Passo 4

Propriedade 2: Comutatividade da adição
Como , a adição é comutativa. Portanto, essa propriedade também é válida.

Passo 5

Propriedade 3: Associatividade da adição
Para três vetores , , e :
Os dois lados são iguais, então a associatividade é válida.

Passo 6

Propriedade 4: Elemento neutro da adição
O vetor zero seria , pois:
Portanto, existe um elemento neutro, e essa propriedade é válida.

Passo 7

Propriedade 5: Existência de inverso aditivo
Para cada , o inverso aditivo seria , pois:
Então, essa propriedade também é válida.

Passo 8

Propriedade 6: Fechamento da multiplicação por escalar
A multiplicação por escalar está definida como . Como é um número real, o resultado ainda está em . Portanto, essa propriedade é válida.

Passo 9

Propriedade 10: Elemento neutro da multiplicação por escalar
Devemos verificar se :
Portanto, essa propriedade é válida.

Passo 10

Propriedades problemáticas:
Vamos analisar as outras propriedades:
  • Propriedade 7: Distributividade do escalar em relação à adição de vetores
Comparando os dois lados:
Para que sejam iguais, , o que é verdadeiro para qualquer . Portanto, essa propriedade parece válida.
  • Propriedade 8: Distributividade do escalar em relação à adição de escalares
Comparando os dois lados:
A segunda componente não coincide, a menos que . Portanto, esta propriedade não é válida.
  • Propriedade 9: Compatibilidade da multiplicação de escalares
Os dois lados são iguais, então essa propriedade é válida.

Resposta

A única propriedade que não é válida para com as operações definidas é a distributividade do escalar em relação à adição de escalares, ou seja:
Isso ocorre porque a segunda componente resulta em de um lado e do outro, o que somente se iguala quando .

Exercícios relacionados

Considere o Espaço Vetorial :
  • Como se definem as operações de adição e de multiplicação por escalar neste espaço?
  • Qual a interpretação geométrica dessas operações. Dê exemplos.
Calcule a matriz inversa das seguintes matrizes, usando as operações elementares sobre a matriz, isto é o Método de Gauss-Jordan.
Mostre que é uma base para . Depois encontre a as coordenadas de nesta base; isto é, determine .
Sabendo que é outra base de , encontre, para usando mudança de base. Deixe explícito todas as matrizes de mudança de base que utilizar.