Considere o Espaço Vetorial :
  • Como se definem as operações de adição e de multiplicação por escalar neste espaço?
  • Qual a interpretação geométrica dessas operações. Dê exemplos.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos como funcionam as operações de adição e multiplicação por escalar no espaço vetorial . Vamos usar conceitos de Álgebra Linear para entender essas operações e explicar a interpretação geométrica de cada uma, usando exemplos para facilitar a compreensão.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a adição de vetores em . Nesse espaço, um vetor é representado por três componentes: . Para somar dois vetores, simplesmente somamos cada uma das suas componentes correspondentes.
Por exemplo, se temos dois vetores e , a soma é dada por:

Passo 3

Agora, vamos entender a multiplicação por escalar no mesmo espaço. Multiplicar um vetor por um escalar significa multiplicar cada componente do vetor por esse número.
Se tivermos um vetor e um escalar , a multiplicação é calculada assim:

Passo 4

A interpretação geométrica da adição de vetores é bastante intuitiva. Imagine que cada vetor é uma seta no espaço tridimensional. Para somar dois vetores, você coloca a “cabeça” de um vetor na “cauda” do outro. O vetor resultante vai da “cabeça” do primeiro vetor até a “cabeça” do segundo, formando algo parecido com um paralelogramo.

Passo 5

Já a multiplicação por escalar altera o comprimento do vetor sem mudar sua direção (a menos que o escalar seja negativo, o que também inverte a direção). Se multiplicarmos um vetor por um escalar maior que 1, ele se alonga; se multiplicarmos por um escalar entre 0 e 1, ele se encurta.

Passo 6

Vamos ver alguns exemplos para esclarecer:
  1. Adição de Vetores:
    Se e , então:
  2. Multiplicação por Escalar:
    Se e , então:

Resposta

No espaço vetorial , a adição de vetores é realizada somando-se suas componentes individualmente, ou seja, . A multiplicação por escalar envolve multiplicar cada componente do vetor por um número real, resultando em . Geometricamente, a adição de vetores corresponde a posicionar um vetor na sequência do outro, formando um paralelogramo, enquanto a multiplicação por escalar estica ou encolhe o vetor na mesma direção. Por exemplo, somando os vetores e obtemos , e multiplicando o vetor por resulta em .

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Calcule a matriz inversa das seguintes matrizes, usando as operações elementares sobre a matriz, isto é o Método de Gauss-Jordan.
Calcule os determinantes das seguintes matrizes.
Seja . Defina
  • adição: se e , então ;
  • multiplicação por escalar: se , então .
    Quais das propriedades na definição de espaço vetorial não são válidas para com essas operações?
Mostre que é uma base para . Depois encontre a as coordenadas de nesta base; isto é, determine .