Como se definem as operações de adição e de multiplicação por escalar neste espaço?
Qual a interpretação geométrica dessas operações. Dê exemplos.
Passo 1
O enunciado pede para definirmos como funcionam as operações de adição e multiplicação por escalar no espaço vetorial . Vamos usar conceitos de Álgebra Linear para entender essas operações e explicar a interpretação geométrica de cada uma, usando exemplos para facilitar a compreensão.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a adição de vetores em . Nesse espaço, um vetor é representado por três componentes: . Para somar dois vetores, simplesmente somamos cada uma das suas componentes correspondentes.
Por exemplo, se temos dois vetores e , a soma é dada por:
Passo 3
Agora, vamos entender a multiplicação por escalar no mesmo espaço. Multiplicar um vetor por um escalar significa multiplicar cada componente do vetor por esse número.
Se tivermos um vetor e um escalar , a multiplicação é calculada assim:
Passo 4
A interpretação geométrica da adição de vetores é bastante intuitiva. Imagine que cada vetor é uma seta no espaço tridimensional. Para somar dois vetores, você coloca a “cabeça” de um vetor na “cauda” do outro. O vetor resultante vai da “cabeça” do primeiro vetor até a “cabeça” do segundo, formando algo parecido com um paralelogramo.
Passo 5
Já a multiplicação por escalar altera o comprimento do vetor sem mudar sua direção (a menos que o escalar seja negativo, o que também inverte a direção). Se multiplicarmos um vetor por um escalar maior que 1, ele se alonga; se multiplicarmos por um escalar entre 0 e 1, ele se encurta.
Passo 6
Vamos ver alguns exemplos para esclarecer:
Adição de Vetores:
Se e , então:
Multiplicação por Escalar:
Se e , então:
Resposta
No espaço vetorial , a adição de vetores é realizada somando-se suas componentes individualmente, ou seja, . A multiplicação por escalar envolve multiplicar cada componente do vetor por um número real, resultando em . Geometricamente, a adição de vetores corresponde a posicionar um vetor na sequência do outro, formando um paralelogramo, enquanto a multiplicação por escalar estica ou encolhe o vetor na mesma direção. Por exemplo, somando os vetores e obtemos , e multiplicando o vetor por resulta em .