Considere o Espaço Vetorial E^3 :
  • Como se definem as operações de adição e de multiplicação por escalar neste espaço?
  • Qual a interpretação geométrica dessas operações. Dê exemplos.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos como funcionam as operações de adição e multiplicação por escalar no espaço vetorial E^3. Vamos usar conceitos de Álgebra Linear para entender essas operações e explicar a interpretação geométrica de cada uma, usando exemplos para facilitar a compreensão.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a adição de vetores em E^3. Nesse espaço, um vetor é representado por três componentes: (x, y, z). Para somar dois vetores, simplesmente somamos cada uma das suas componentes correspondentes.
Por exemplo, se temos dois vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3), a soma u + v é dada por:
u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3)

Passo 3

Agora, vamos entender a multiplicação por escalar no mesmo espaço. Multiplicar um vetor por um escalar significa multiplicar cada componente do vetor por esse número.
Se tivermos um vetor u = (u1, u2, u3) e um escalar k, a multiplicação k cdot u é calculada assim:
k cdot u = (k cdot u1, k cdot u2, k cdot u3)

Passo 4

A interpretação geométrica da adição de vetores é bastante intuitiva. Imagine que cada vetor é uma seta no espaço tridimensional. Para somar dois vetores, você coloca a “cabeça” de um vetor na “cauda” do outro. O vetor resultante vai da “cabeça” do primeiro vetor até a “cabeça” do segundo, formando algo parecido com um paralelogramo.

Passo 5

Já a multiplicação por escalar altera o comprimento do vetor sem mudar sua direção (a menos que o escalar seja negativo, o que também inverte a direção). Se multiplicarmos um vetor por um escalar maior que 1, ele se alonga; se multiplicarmos por um escalar entre 0 e 1, ele se encurta.

Passo 6

Vamos ver alguns exemplos para esclarecer:
  1. Adição de Vetores:
    Se u = (1, 2, 3) e v = (4, 5, 6), então:
    u + v = (1 + 4, 2 + 5, 3 + 6) = (5, 7, 9)
  2. Multiplicação por Escalar:
    Se u = (1, 2, 3) e k = 2, então:
    2 cdot u = (2 cdot 1, 2 cdot 2, 2 cdot 3) = (2, 4, 6)

Resposta

No espaço vetorial E^3, a adição de vetores é realizada somando-se suas componentes individualmente, ou seja, (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2). A multiplicação por escalar envolve multiplicar cada componente do vetor por um número real, resultando em k cdot (x, y, z) = (k cdot x, k cdot y, k cdot z). Geometricamente, a adição de vetores corresponde a posicionar um vetor na sequência do outro, formando um paralelogramo, enquanto a multiplicação por escalar estica ou encolhe o vetor na mesma direção. Por exemplo, somando os vetores (1,2,3) e (4,5,6) obtemos (5,7,9), e multiplicando o vetor (1,2,3) por 2 resulta em (2,4,6).

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