Exercícios diversos.
Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido acima do plano
, abaixo do plano
; e limitado lateralmente pelo cilindro
e pelo plano
.
Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido acima do plano
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido usando uma integral tripla. O sólido está acima do plano
, abaixo do plano
, e é limitado lateralmente pelo cilindro
e pelo plano
. Para isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração para cada uma das três variáveis:
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sólido. O cilindro
é uma parábola que abre para a direita no plano
. O plano
corta essa parábola, estabelecendo um limite para
. Então,
varia de
até
. Para
, na parábola
, quando
, temos
. Portanto,
varia de
a
. Por fim, para
, sabemos que ele vai do plano
(
) até o plano
.
Passo 3
Agora, vamos montar a integral tripla com esses limites:
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Integrando em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Calculando as integrais:
Então, o volume é:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
Uma certa indústria vende seu produto por
a unidade. O custo da produção total diária (em R$) é dado pela função
100000, sendo
o número de unidades. Se a capacidade de produção mensal for, no máximo, de 15000 unidades, quantas unidades desse produto devem ser fabricadas e vendidas mensalmente para que o lucro seja máximo?
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
Calcule o máximo e o mínimo absolutos (se existir) da função dada no intervalo especificado:
.