Exercícios diversos.
Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido acima do plano
, abaixo do plano
; e limitado lateralmente pelo cilindro
e pelo plano
.
Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido acima do plano
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido usando uma integral tripla. O sólido está acima do plano
, abaixo do plano
, e é limitado lateralmente pelo cilindro
e pelo plano
. Para isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração para cada uma das três variáveis:
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sólido. O cilindro
é uma parábola que abre para a direita no plano
. O plano
corta essa parábola, estabelecendo um limite para
. Então,
varia de
até
. Para
, na parábola
, quando
, temos
. Portanto,
varia de
a
. Por fim, para
, sabemos que ele vai do plano
(
) até o plano
.
Passo 3
Agora, vamos montar a integral tripla com esses limites:
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Integrando em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Calculando as integrais:
Então, o volume é:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.