Exercícios diversos.
Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido acima do plano x y, abaixo do plano z = x; e limitado lateralmente pelo cilindro y^2 = x e pelo plano x = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido usando uma integral tripla. O sólido está acima do plano xy, abaixo do plano , e é limitado lateralmente pelo cilindro e pelo plano x = 1. Para isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração para cada uma das três variáveis: x, y e z.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sólido. O cilindro é uma parábola que abre para a direita no plano xy. O plano x = 1 corta essa parábola, estabelecendo um limite para x. Então, x varia de y^2 até 1. Para y, na parábola , quando x = 1, temos . Portanto, y varia de -1 a 1. Por fim, para z, sabemos que ele vai do plano xy ( ) até o plano .

Passo 3

Agora, vamos montar a integral tripla com esses limites:
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a z:
Então, a integral fica:
Integrando em relação a x:
Agora, integramos em relação a y:
Calculando as integrais:
Então, o volume é:

Resposta

O volume do sólido é 4/5 unidades cúbicas.

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