Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar vários aspectos da função
. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo diferencial, que envolve derivadas para encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e, por fim, esboçar o gráfico da função. Vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas da função para analisar todas essas características.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar os cálculos. A função dada é:
Podemos simplificar dividindo os termos no numerador pelo denominador:
Então, reescrevemos a função:
Mas para facilitar a derivação, vamos deixar a forma original.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primeira derivada da função
para identificar os pontos críticos e os intervalos de crescimento e decrescimento.
A função é uma fração, então usaremos a regra do quociente para derivar:
Calculando o numerador:
Portanto, a primeira derivada fica:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a primeira derivada a zero e também identificamos onde ela é indefinida.
Resolvendo a equação quadrática:
O discriminante
é:
Como
, não há soluções reais. Portanto, não há pontos críticos onde
.
Além disso, a derivada é indefinida quando o denominador é zero:
Então, o único ponto crítico é
, mas devemos verificar se esse ponto pertence ao domínio da função.
Passo 5
Vamos verificar o domínio da função
. A função está indefinida quando o denominador é zero:
Portanto,
não pertence ao domínio da função. Isso significa que não temos pontos críticos dentro do domínio.
Passo 6
Como não temos pontos críticos dentro do domínio, vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento da função olhando o sinal da primeira derivada.
A primeira derivada é:
Como o denominador
é sempre positivo (exceto em
, que não está no domínio), o sinal de
depende apenas do numerador
.
Vamos analisar o sinal de
:
Como
é sempre positivo (discriminante negativo), então
é sempre negativo.
Portanto,
é sempre negativo onde a função está definida. Isso significa que a função é decrescente em todo o seu domínio.
Passo 7
Como a função é sempre decrescente e não possui pontos críticos dentro do domínio, concluímos que não há máximos ou mínimos locais na função
.
Passo 8
Agora, vamos encontrar a segunda derivada para analisar a concavidade e os pontos de inflexão.
Primeiro, derivamos
:
Usaremos a regra do quociente novamente:
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
- Expandir
:
- Expandir
:
- Subtrair os dois resultados:
Portanto, a segunda derivada é:
Passo 9
Para encontrar os pontos de inflexão, igualamos a segunda derivada a zero:
Vamos verificar se este ponto está no domínio da função. Como
é diferente de
, ele pertence ao domínio.
Portanto, temos um ponto de inflexão em
.
Passo 10
Agora, vamos determinar a concavidade da função:
- Quando
, substituindo na segunda derivada:
Então, a função é côncava para baixo nesse intervalo.
- Quando
:
Então, a função é côncava para cima nesse intervalo.
Passo 11
Para esboçar o gráfico da função
, resumimos as informações que temos:
- Domínio:
- Derivada primeira: Sempre negativa, então a função é decrescente em todo o domínio.
- Sem máximos ou mínimos locais.
- Segunda derivada: Muda de negativa para positiva em
, indicando um ponto de inflexão. - Ponto de inflexão:
- Concavidade:
- Côncava para baixo quando
- Côncava para cima quando
- Côncava para baixo quando
- Assíntote vertical:
- Assíntote horizontal: Vamos analisar o limite quando
tende ao infinito:
Não há assíntote horizontal, mas a função tende a
quando
tende a
.
Resposta
Em resumo, para a função
:
a) Pontos Críticos: Nenhum dentro do domínio da função.
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento: A função é decrescente em todo o seu domínio.
c) Pontos de Máximo e Mínimos Locais: Não há máximos ou mínimos locais.
d) Concavidade:
- Côncava para baixo quando
- Côncava para cima quando
e) Pontos de Inflexão:
f) Esboço do Gráfico: A função apresenta uma assíntote vertical em
, é decrescente em todo o domínio, possui um ponto de inflexão em
, e tende a
quando
tende a
. Não há assíntote horizontal.
Exercícios relacionados
Exercícios diversos.
Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido acima do plano , abaixo do plano
; e limitado lateralmente pelo cilindro
e pelo plano
.
Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido acima do plano
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
Calcule o máximo e o mínimo absolutos (se existir) da função dada no intervalo especificado:
.
Um tipógrafo quer imprimir boletins com
de texto impresso, com margens superior e inferior de 6 cm e margens laterais de 3 cm cada uma. Quais as dimensões da folha para minimizar o gasto de papel?