Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
y = (4 - x^2) / (x + 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar vários aspectos da função . O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo diferencial, que envolve derivadas para encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e, por fim, esboçar o gráfico da função. Vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas da função para analisar todas essas características.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar os cálculos. A função dada é:
Podemos simplificar dividindo os termos no numerador pelo denominador:
Então, reescrevemos a função:
Mas para facilitar a derivação, vamos deixar a forma original.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada da função para identificar os pontos críticos e os intervalos de crescimento e decrescimento.
A função é uma fração, então usaremos a regra do quociente para derivar:
Calculando o numerador:
Portanto, a primeira derivada fica:

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, igualamos a primeira derivada a zero e também identificamos onde ela é indefinida.
Resolvendo a equação quadrática:
O discriminante é:
Como , não há soluções reais. Portanto, não há pontos críticos onde .
Além disso, a derivada é indefinida quando o denominador é zero:
Então, o único ponto crítico é , mas devemos verificar se esse ponto pertence ao domínio da função.

Passo 5

Vamos verificar o domínio da função . A função está indefinida quando o denominador é zero:
Portanto, não pertence ao domínio da função. Isso significa que não temos pontos críticos dentro do domínio.

Passo 6

Como não temos pontos críticos dentro do domínio, vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento da função olhando o sinal da primeira derivada.
A primeira derivada é:
Como o denominador é sempre positivo (exceto em , que não está no domínio), o sinal de depende apenas do numerador .
Vamos analisar o sinal de :
Como é sempre positivo (discriminante negativo), então é sempre negativo.
Portanto, é sempre negativo onde a função está definida. Isso significa que a função é decrescente em todo o seu domínio.

Passo 7

Como a função é sempre decrescente e não possui pontos críticos dentro do domínio, concluímos que não há máximos ou mínimos locais na função .

Passo 8

Agora, vamos encontrar a segunda derivada para analisar a concavidade e os pontos de inflexão.
Primeiro, derivamos :
Usaremos a regra do quociente novamente:
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
  1. Expandir :
  1. Expandir :
  1. Subtrair os dois resultados:
Portanto, a segunda derivada é:

Passo 9

Para encontrar os pontos de inflexão, igualamos a segunda derivada a zero:
Vamos verificar se este ponto está no domínio da função. Como é diferente de , ele pertence ao domínio.
Portanto, temos um ponto de inflexão em .

Passo 10

Agora, vamos determinar a concavidade da função:
  • Quando , substituindo na segunda derivada:
Então, a função é côncava para baixo nesse intervalo.
  • Quando :
Então, a função é côncava para cima nesse intervalo.

Passo 11

Para esboçar o gráfico da função , resumimos as informações que temos:
  • Domínio:
  • Derivada primeira: Sempre negativa, então a função é decrescente em todo o domínio.
  • Sem máximos ou mínimos locais.
  • Segunda derivada: Muda de negativa para positiva em , indicando um ponto de inflexão.
  • Ponto de inflexão:
  • Concavidade:
    • Côncava para baixo quando
    • Côncava para cima quando
  • Assíntote vertical:
  • Assíntote horizontal: Vamos analisar o limite quando tende ao infinito:
Não há assíntote horizontal, mas a função tende a quando tende a .

Resposta

Em resumo, para a função :
a) Pontos Críticos: Nenhum dentro do domínio da função.
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento: A função é decrescente em todo o seu domínio.
c) Pontos de Máximo e Mínimos Locais: Não há máximos ou mínimos locais.
d) Concavidade:
  • Côncava para baixo quando
  • Côncava para cima quando
e) Pontos de Inflexão:
f) Esboço do Gráfico: A função apresenta uma assíntote vertical em , é decrescente em todo o domínio, possui um ponto de inflexão em , e tende a quando tende a . Não há assíntote horizontal.

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a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
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