Calcule a média da distribuição exponencial da função densidade de probabilidade abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a média da distribuição exponencial dada pela função densidade de probabilidade:
Esse problema está dentro do estudo de distribuições de probabilidade contínuas, especificamente da distribuição exponencial. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a média de uma distribuição contínua usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a média (ou valor esperado) de uma distribuição contínua. A média é dada pela integral do produto de pela função densidade sobre todo o domínio de :
No nosso caso, como para , a integral fica de 0 a :

Passo 3

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, identificamos que temos uma integral do tipo:
Multiplicando pelo constante :

Passo 4

Para resolver a integral , podemos usar a técnica de integração por partes. Lembrando que:
Vamos escolher:
  • então
  • então
Aplicando a integração por partes:
A segunda integral é:
Então, substituindo de volta:
Agora, avaliando de 0 a :
  • Quando , , então os termos desaparecem.
  • Quando :
Portanto, a integral definida é:

Passo 5

Voltando à expressão da média:

Resposta

A média da distribuição exponencial é .

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Determine os máximos e os mínimos (caso existam) das seguintes funções:
(a)
Calcule as seguintes integrais:
Considere a função . Em relação a essa função determine:
As concavidades e os pontos de inflexão (se houver).
Encontre o número , como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
(d) .