Calcule a média da distribuição exponencial da função densidade de probabilidade abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a média da distribuição exponencial dada pela função densidade de probabilidade:
Esse problema está dentro do estudo de distribuições de probabilidade contínuas, especificamente da distribuição exponencial. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a média de uma distribuição contínua usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a média (ou valor esperado) de uma distribuição contínua. A média
é dada pela integral do produto de
pela função densidade
sobre todo o domínio de
:
No nosso caso, como
para
, a integral fica de 0 a
:
Passo 3
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, identificamos que temos uma integral do tipo:
Multiplicando pelo constante
:
Passo 4
Para resolver a integral
, podemos usar a técnica de integração por partes. Lembrando que:
Vamos escolher:
-
então -
então
Aplicando a integração por partes:
A segunda integral é:
Então, substituindo de volta:
Agora, avaliando de 0 a
:
- Quando
, , então os termos desaparecem. - Quando
:
Portanto, a integral definida é:
Passo 5
Voltando à expressão da média:
Resposta
A média da distribuição exponencial é
.