Determine os máximos e os mínimos (caso existam) das seguintes funções:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os máximos e mínimos da função
. Este é um problema de cálculo envolvendo derivadas, especificamente para encontrar os pontos críticos que podem ser máximos ou mínimos. Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas e entender o que elas representam graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto, e os pontos onde a derivada é zero são chamados de pontos críticos, que podem ser máximos ou mínimos.
A função é:
Calculando a derivada:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
:
Encontramos que
é um ponto crítico da função.
Passo 4
Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou um mínimo, vamos analisar a segunda derivada da função. A segunda derivada nos diz sobre a concavidade da função: se for positiva, a função é côncava para cima (indicando um mínimo), e se for negativa, é côncava para baixo (indicando um máximo).
Calculando a segunda derivada:
Como
é positivo, isso significa que o gráfico da função é côncavo para cima no ponto crítico
, indicando que é um ponto de mínimo.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o valor mínimo da função substituindo
na função original:
Resposta
A função
possui um mínimo no ponto
com valor mínimo igual a 1. Não há máximos para essa função.
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Considere a função
. Em relação a essa função determine:
As concavidades e os pontos de inflexão (se houver).
As concavidades e os pontos de inflexão (se houver).