Determine os máximos e os mínimos (caso existam) das seguintes funções:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os máximos e mínimos da função . Este é um problema de cálculo envolvendo derivadas, especificamente para encontrar os pontos críticos que podem ser máximos ou mínimos. Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas e entender o que elas representam graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto, e os pontos onde a derivada é zero são chamados de pontos críticos, que podem ser máximos ou mínimos.
A função é:
Calculando a derivada:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo :
Encontramos que é um ponto crítico da função.

Passo 4

Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou um mínimo, vamos analisar a segunda derivada da função. A segunda derivada nos diz sobre a concavidade da função: se for positiva, a função é côncava para cima (indicando um mínimo), e se for negativa, é côncava para baixo (indicando um máximo).
Calculando a segunda derivada:
Como é positivo, isso significa que o gráfico da função é côncavo para cima no ponto crítico , indicando que é um ponto de mínimo.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o valor mínimo da função substituindo na função original:

Resposta

A função possui um mínimo no ponto com valor mínimo igual a 1. Não há máximos para essa função.

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais:
Calcule a seguinte integral imprópria
Calcule a média da distribuição exponencial da função densidade de probabilidade abaixo:
Considere a função . Em relação a essa função determine:
As concavidades e os pontos de inflexão (se houver).