Encontre o número , como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
(d) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que encontrar o número que satisfaz o Teorema do Valor Médio para a função no intervalo . Esse teorema diz que, se a função é contínua e diferenciável no intervalo dado, então existe pelo menos um ponto onde a derivada da função iguala a média das variações da função nesse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar garantir que a função atende às condições do teorema, calcular a derivada, aplicar a fórmula do teorema e encontrar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua e diferenciável no intervalo .
  • Continuidade: A função é contínua em todo lugar onde o denominador não é zero. No intervalo , varia de 1 a 4, então não há problemas de continuidade.
  • Diferenciabilidade: A função é diferenciável onde a derivada existe. Como é uma função racional com denominador não nulo nesse intervalo, ela é diferenciável em .
Então, podemos aplicar o Teorema do Valor Médio.

Passo 3

Vamos relembrar o que o Teorema do Valor Médio (TVM) diz:
Se uma função é contínua no fechamento do intervalo e diferenciável no interior , então existe pelo menos um número em tal que:
Nesse caso, e . Vamos calcular e .

Passo 4

Calculando e :
Agora, substituímos esses valores na fórmula do TVM:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada da função . Para isso, usamos a regra do quociente:
Sabemos que , então:
Resolvendo para :
Como estamos no intervalo , descartamos :

Resposta

O número que satisfaz o Teorema do Valor Médio para a função no intervalo é .

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