Encontre o número
, como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que encontrar o número
que satisfaz o Teorema do Valor Médio para a função
no intervalo
. Esse teorema diz que, se a função é contínua e diferenciável no intervalo dado, então existe pelo menos um ponto
onde a derivada da função iguala a média das variações da função nesse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar garantir que a função atende às condições do teorema, calcular a derivada, aplicar a fórmula do teorema e encontrar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é contínua e diferenciável no intervalo
.
-
Continuidade: A função é contínua em todo lugar onde o denominador
não é zero. No intervalo , varia de 1 a 4, então não há problemas de continuidade. -
Diferenciabilidade: A função é diferenciável onde a derivada existe. Como
é uma função racional com denominador não nulo nesse intervalo, ela é diferenciável em .
Então, podemos aplicar o Teorema do Valor Médio.
Passo 3
Vamos relembrar o que o Teorema do Valor Médio (TVM) diz:
Se uma função
é contínua no fechamento do intervalo
e diferenciável no interior
, então existe pelo menos um número
em
tal que:
Nesse caso,
e
. Vamos calcular
e
.
Passo 4
Calculando
e
:
Agora, substituímos esses valores na fórmula do TVM:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada
da função
. Para isso, usamos a regra do quociente:
Sabemos que
, então:
Resolvendo para
:
Como estamos no intervalo
, descartamos
:
Resposta
O número
que satisfaz o Teorema do Valor Médio para a função
no intervalo
é
.
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.