Considere a função
. Em relação a essa função determine:
As concavidades e os pontos de inflexão (se houver).
As concavidades e os pontos de inflexão (se houver).
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a questão onde precisamos encontrar as concavidades e os pontos de inflexão da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas segunda. Vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função para determinar onde ela é côncava para cima ou para baixo e identificar possíveis pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada
da função
. A função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada
para determinar a concavidade. Vamos derivar
novamente usando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 4
Para encontrar onde a concavidade muda, buscamos os valores de
onde
:
Esse valor de
é um candidato a ponto de inflexão. Vamos verificar a concavidade antes e depois desse ponto.
Passo 5
Escolhemos valores de
menores e maiores que
para testar o sinal de
:
-
Para
, por exemplo : -
Para
, por exemplo :
Resposta
A função
é côncava para cima quando
e côncava para baixo quando
. Além disso,
é um ponto de inflexão da função.
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(a)
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, como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
(d) .
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