Considere a função . Em relação a essa função determine:
As concavidades e os pontos de inflexão (se houver).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a questão onde precisamos encontrar as concavidades e os pontos de inflexão da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas segunda. Vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função para determinar onde ela é côncava para cima ou para baixo e identificar possíveis pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada da função . A função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada para determinar a concavidade. Vamos derivar novamente usando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 4

Para encontrar onde a concavidade muda, buscamos os valores de onde :
Esse valor de é um candidato a ponto de inflexão. Vamos verificar a concavidade antes e depois desse ponto.

Passo 5

Escolhemos valores de menores e maiores que para testar o sinal de :
  • Para , por exemplo :
  • Para , por exemplo :

Resposta

A função é côncava para cima quando e côncava para baixo quando . Além disso, é um ponto de inflexão da função.

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