Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral
. Isso envolve o conteúdo de cálculo de integrais racionais, onde a gente lida com frações envolvendo polinômios. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e usar decomposição em frações parciais. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Para isso, vamos buscar as raízes desse polinômio. Tentamos valores simples como
:
Então,
é uma raiz. Isso significa que
é um fator do polinômio.
Passo 3
Agora, vamos fazer a divisão polinomial de
por
para encontrar os outros fatores:
O polinômio quadrático
pode ser fatorado ainda mais:
Então, o denominador fatorado fica:
Passo 4
Com o denominador fatorado, podemos escrever a fração original como:
Agora, vamos usar a decomposição em frações parciais. Assumimos que:
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos encontrar os valores de
,
e
.
Passo 6
Vamos escolher valores de
que simplificam a equação. Primeiro,
:
Agora,
:
Passo 7
Para encontrar
, podemos escolher outro valor para
, por exemplo,
:
Substituindo
e
:
Passo 8
Agora que temos
,
e
, podemos escrever a decomposição:
Passo 9
Finalmente, vamos integrar cada termo separadamente:
Resposta
Juntando tudo, a integral é:
Exercícios relacionados
Calcule a seguinte integral imprópria
Para cada uma das funções abaixo encontre os extremos absolutos no intervalo dado.
(a)
(a)
Determine os máximos e os mínimos (caso existam) das seguintes funções:
(a)
(a)
Calcule a média da distribuição exponencial da função densidade de probabilidade abaixo: