Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral . Isso envolve o conteúdo de cálculo de integrais racionais, onde a gente lida com frações envolvendo polinômios. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e usar decomposição em frações parciais. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Para isso, vamos buscar as raízes desse polinômio. Tentamos valores simples como :
Então, é uma raiz. Isso significa que é um fator do polinômio.

Passo 3

Agora, vamos fazer a divisão polinomial de por para encontrar os outros fatores:
O polinômio quadrático pode ser fatorado ainda mais:
Então, o denominador fatorado fica:

Passo 4

Com o denominador fatorado, podemos escrever a fração original como:
Agora, vamos usar a decomposição em frações parciais. Assumimos que:

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos encontrar os valores de , e .

Passo 6

Vamos escolher valores de que simplificam a equação. Primeiro, :
Agora, :

Passo 7

Para encontrar , podemos escolher outro valor para , por exemplo, :
Substituindo e :

Passo 8

Agora que temos , e , podemos escrever a decomposição:

Passo 9

Finalmente, vamos integrar cada termo separadamente:

Resposta

Juntando tudo, a integral é:

Exercícios relacionados

Calcule a seguinte integral imprópria
Para cada uma das funções abaixo encontre os extremos absolutos no intervalo dado.
(a)
Determine os máximos e os mínimos (caso existam) das seguintes funções:
(a)
Calcule a média da distribuição exponencial da função densidade de probabilidade abaixo: