Calcule as seguintes integrais: integral x+5x^3+4 x^2-3 x-18 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral . Isso envolve o conteúdo de cálculo de integrais racionais, onde a gente lida com frações envolvendo polinômios. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e usar decomposição em frações parciais. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador 2^3 + 4(2)^2 - 3(2) - 18 = 8 + 16 - 6 - 18 = 0 . Para isso, vamos buscar as raízes desse polinômio. Tentamos valores simples como :
Então, é uma raiz. Isso significa que é um fator do polinômio.

Passo 3

Agora, vamos fazer a divisão polinomial de x^3 + 4x^2 - 3x - 18 = (x - 2)(x^2 + 6x + 9) por x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 para encontrar os outros fatores:
x^3 + 4x^2 - 3x - 18 = (x - 2)(x + 3)^2
O polinômio quadrático pode ser fatorado ainda mais:
Então, o denominador fatorado fica:

Passo 4

Com o denominador fatorado, podemos escrever a fração original como:
x + 5(x - 2)(x + 3)^2
Agora, vamos usar a decomposição em frações parciais. Assumimos que:
x + 5(x - 2)(x + 3)^2 = Ax - 2 + Bx + 3 + C(x + 3)^2

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por x + 5 = A(x + 3)^2 + B(x - 2)(x + 3) + C(x - 2) para eliminar os denominadores:
Agora, vamos encontrar os valores de , e .

Passo 6

Vamos escolher valores de 2 + 5 = A(2 + 3)^2 + B(0) + C(0) Rightarrow 7 = 25A Rightarrow A = 725 que simplificam a equação. Primeiro, -3 + 5 = A(0) + B(-3 - 2)(0) + C(-3 - 2) Rightarrow 2 = -5C Rightarrow C = -25 :
Agora, :

Passo 7

Para encontrar 0 + 5 = A(0 + 3)^2 + B(0 - 2)(0 + 3) + C(0 - 2) , podemos escolher outro valor para 5 = 725(9) + B(-2)(3) + (-25)(-2) , por exemplo, 5 = 6325 - 6B + 45 :
5 = 6325 + 2025 - 6B
Substituindo 5 = 8325 - 6B e 5 - 8325 = -6B :
12525 - 8325 = -6B
4225 = -6B Rightarrow B = -4225 times 6 = -725

Passo 8

Agora que temos x + 5(x - 2)(x + 3)^2 = 7/25x - 2 + -7/25x + 3 + -2/5(x + 3)^2 , e , podemos escrever a decomposição:

Passo 9

Finalmente, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 7/25x - 2 , dx = 725 ln|x - 2| + C1
integral -7/25x + 3 , dx = -725 ln|x + 3| + C2
integral -2/5(x + 3)^2 , dx = 25(x + 3) + C3

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
integral x + 5x^3+4 x^2-3 x-18 , dx = 725 ln|x - 2| - 725 ln|x + 3| + 25(x + 3) + C

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