Calcule, mediante o Teorema Fundamental do Cálculo, as integrais a seguir:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida:
. A matéria aqui envolve o Teorema Fundamental do Cálculo e técnicas de integração, especificamente a integração por partes. Para resolver, vamos precisar encontrar uma antiderivada da função
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema Fundamental do Cálculo. Ele nos diz que para calcular a integral definida de uma função, basta encontrar uma antiderivada dessa função e avaliar nos limites de integração. Ou seja, se
é uma antiderivada de
, então:
No nosso caso, precisamos encontrar a antiderivada de
.
Passo 3
Para integrar
, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Aqui, escolhemos
e
de forma que
e
sejam mais simples de trabalhar.
Vamos definir:
-
(assim, ) -
(assim, )
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Onde
é a constante de integração. Então, a antiderivada de
é:
Passo 5
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos
nos limites de integração
e
:
Calculando cada termo:
Para
:
Para
:
Resposta
Portanto, o resultado da integral é
.
Exercícios relacionados
Escreva a soma de Riemann das seguintes funções nos intervalos indicados, usando a quantidade
de subintervalos na partição considerada.
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Calcule as seguintes integrais definidas utilizando a técnica que achar mais conveniente:
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Calcule as seguintes integrais definidas:
Calcule as seguintes integrais definidas utilizando a técnica que achar mais conveniente:
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