Calcule, mediante o Teorema Fundamental do Cálculo, as integrais a seguir: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . A matéria aqui envolve o Teorema Fundamental do Cálculo e técnicas de integração, especificamente a integração por partes. Para resolver, vamos precisar encontrar uma antiderivada da função .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema Fundamental do Cálculo. Ele nos diz que para calcular a integral definida de uma função, basta encontrar uma antiderivada dessa função e avaliar nos limites de integração. Ou seja, se é uma antiderivada de , então:
No nosso caso, precisamos encontrar a antiderivada de .

Passo 3

Para integrar , vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Aqui, escolhemos e de forma que e sejam mais simples de trabalhar.
Vamos definir:
  • (assim, )
  • (assim, )

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Onde é a constante de integração. Então, a antiderivada de é:

Passo 5

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos nos limites de integração e :
Calculando cada termo:
Para :
Para :

Resposta

Portanto, o resultado da integral é .

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Escreva a soma de Riemann das seguintes funções nos intervalos indicados, usando a quantidade de subintervalos na partição considerada. .
Calcule as seguintes integrais definidas utilizando a técnica que achar mais conveniente: .
Calcule as seguintes integrais definidas:
Calcule as seguintes integrais definidas utilizando a técnica que achar mais conveniente: .