Calcule, mediante o Teorema Fundamental do Cálculo, as integrais a seguir: integralpi2^2 pi x sin x d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: integralpi2^2 pi x sin x , dx. A matéria aqui envolve o Teorema Fundamental do Cálculo e técnicas de integração, especificamente a integração por partes. Para resolver, vamos precisar encontrar uma antiderivada da função x sin x.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema Fundamental do Cálculo. Ele nos diz que para calcular a integral definida de uma função, basta encontrar uma antiderivada dessa função e avaliar nos limites de integração. Ou seja, se F(x) é uma antiderivada de f(x), então:
integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a)
No nosso caso, precisamos encontrar a antiderivada de f(x) = x sin x.

Passo 3

Para integrar x sin x, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, escolhemos u e dv de forma que du e v sejam mais simples de trabalhar.
Vamos definir:
  • u = x (assim, du = dx)
  • dv = sin x , dx (assim, v = -cos x)

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral x sin x , dx = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= x (-cos x) - integral (-cos x) , dx = -x cos x + integral cos x , dx = -x cos x + sin x + C
Onde C é a constante de integração. Então, a antiderivada de x sin x é:
F(x) = -x cos x + sin x

Passo 5

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos F(x) nos limites de integração pi2 e 2pi:
integralpi2^2 pi x sin x , dx = F(2pi) - F(pi2)
Calculando cada termo:
Para x = 2pi:
F(2pi) = -2pi cos (2pi) + sin (2pi) = -2pi (1) + 0 = -2pi
Para x = pi2:
F(pi2) = -pi2 cos (pi2) + sin (pi2) = -pi2 (0) + 1 = 1

Resposta

integralpi2^2 pi x sin x , dx = F(2pi) - F(pi2) = -2pi - 1
Portanto, o resultado da integral é -2pi - 1.

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