Calcule as seguintes integrais definidas:
integralpi / 4^3 pi / 4 sen x cos x d x

Passo 1

E aí! Vamos resolver essa integral juntos. O que a gente tem aqui é a integral definida de sin x cos x de pi/4 até 3pi/4. Para isso, vamos usar um pouco de trigonometria e técnicas de integração que aprendemos no cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão sin x cos x. Existe uma identidade trigonométrica que ajuda nisso:
sin(2x) = 2 sin x cos x
Podemos reescrever essa identidade para isolar sin x cos x:
sin x cos x = 12 sin(2x)

Passo 3

Agora, substituímos sin x cos x na integral pela expressão que encontramos:
integralpi / 4^3 pi / 4 sin x cos x , dx = 12 integralpi / 4^3 pi / 4 sin(2x) , dx

Passo 4

Vamos integrar sin(2x). A integral de sin(2x) em relação a x é:
integral sin(2x) , dx = -12 cos(2x) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando isso à nossa integral definida, temos:
12 [ -12 cos(2x) ]pi / 4^3 pi / 4 = -14 [ cos(3pi2) - cos(pi2) ]

Passo 6

Agora, vamos calcular cos(3pi2) e cos(pi2):
cos(3pi2) = 0
cos(pi2) = 0

Passo 7

Substituindo esses valores na expressão:
-14 (0 - 0) = 0

Resposta

O valor da integral definida é 0.

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