Calcule as medidas das três medianas do triângulo A B C, dados A=(0,0), B=(6,-2) e C=(2,8).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um triângulo ABC com vértices nas coordenadas A=(0,0), B=(6,-2) e C=(2,8). Nosso objetivo é calcular as medidas das três medianas desse triângulo. Para isso, vamos precisar encontrar as coordenadas dos pontos médios de cada lado do triângulo e depois calcular a distância entre cada vértice e o ponto médio oposto usando a fórmula da distância entre dois pontos.

Passo 2

Vamos começar encontrando o ponto médio do lado BC. As coordenadas do ponto médio Ma de BC são a média das coordenadas dos pontos B e C:
Ma ( xB + xC2, yB + yC2 ) = ( 6 + 22, -2 + 82 ) = (4, 3)

Passo 3

Agora, vamos calcular a mediana que parte do vértice A até o ponto médio Ma. Para isso, usamos a fórmula da distância entre dois pontos A=(0,0) e Ma=(4,3):
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
dAMa = raiz(4-0)^2 + (3-0)^2 = raiz16 + 9 = raiz25 = 5
Então, a mediana AMa mede 5 unidades.

Passo 4

Vamos encontrar o ponto médio do lado AC. As coordenadas do ponto médio Mb de AC são:
Mb ( 0 + 22, 0 + 82 ) = (1, 4)
Agora, calculamos a distância entre o vértice B=(6,-2) e o ponto médio Mb=(1,4):
dBMb = raiz(1-6)^2 + (4 - (-2))^2 = raiz(-5)^2 + 6^2 = raiz25 + 36 = raiz61
Portanto, a mediana BMb mede raiz61 unidades.

Passo 5

Por último, vamos encontrar o ponto médio do lado AB. As coordenadas do ponto médio Mc de AB são:
Mc ( 0 + 62, 0 + (-2)2 ) = (3, -1)
Agora, calculamos a distância entre o vértice C=(2,8) e o ponto médio Mc=(3,-1):
dCMc = raiz(3-2)^2 + (-1 - 8)^2 = raiz1^2 + (-9)^2 = raiz1 + 81 = raiz82
Assim, a mediana CMc mede raiz82 unidades.

Resposta

As medidas das três medianas do triângulo ABC são:
AMa = 5
BMb = raiz61
CMc = raiz82

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