Determine uma equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas. Esboce o gráfico. Focos , vérices

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a equação de uma hipérbole com focos em e , e vértices em e . Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com as propriedades das hipérboles. Para resolver isso, vamos precisar entender como usar as coordenadas dos focos e vértices para encontrar os parâmetros da equação da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a forma padrão da equação de uma hipérbole com eixo transversal no eixo x é:
Aqui, a representa a distância do centro aos vértices, e c é a distância do centro aos focos. Além disso, existe uma relação importante entre esses valores:

Passo 3

Vamos identificar o centro da hipérbole. Como os vértices são e , o centro fica exatamente no meio deles. Calculando a média das coordenadas:
Então, o centro está na origem (0,0).

Passo 4

Agora, vamos encontrar o valor de a, que é a distância do centro aos vértices. Como os vértices estão em e , a distância é 3 unidades. Portanto:

Passo 5

Em seguida, vamos determinar o valor de c, que é a distância do centro aos focos. Os focos estão em e , então:

Passo 6

Com a e c conhecidos, podemos encontrar b usando a relação:
Substituindo os valores:

Passo 7

Agora que temos a e b, podemos escrever a equação da hipérbole:

Resposta

A equação da hipérbole é:

Curva

O gráfico dessa hipérbole tem um eixo transversal no eixo x, com vértices em e , e abre para os lados esquerdo e direito. Os focos estão localizados em e .

Exercícios relacionados

Considere o triângulo de vértices e . Sendo assim, responda a cada um dos itens abaixo:
(b) determine a equação da reta que passa por e ;
Calcule as medidas das três medianas do triângulo , dados e .
Considere o subespaço de definido por . Estenda a base encontrada para para uma base do . Justifique sua resposta.
Considere o subconjunto . Um estudante apresentou a seguinte demonstração para provar que é um subespaço vetorial:
Resolugao:
(i)
(ii) Syam ,
temus: ,
como
(ii1) Sijam e . Femos
Responda: Esta demonstração está correta? Justifique sua resposta.