Determine uma equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas. Esboce o gráfico. Focos , vérices
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a equação de uma hipérbole com focos em e , e vértices em e . Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com as propriedades das hipérboles. Para resolver isso, vamos precisar entender como usar as coordenadas dos focos e vértices para encontrar os parâmetros da equação da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a forma padrão da equação de uma hipérbole com eixo transversal no eixo x é:
Aqui, a representa a distância do centro aos vértices, e c é a distância do centro aos focos. Além disso, existe uma relação importante entre esses valores:
Passo 3
Vamos identificar o centro da hipérbole. Como os vértices são e , o centro fica exatamente no meio deles. Calculando a média das coordenadas:
Então, o centro está na origem (0,0).
Passo 4
Agora, vamos encontrar o valor de a, que é a distância do centro aos vértices. Como os vértices estão em e , a distância é 3 unidades. Portanto:
Passo 5
Em seguida, vamos determinar o valor de c, que é a distância do centro aos focos. Os focos estão em e , então:
Passo 6
Com a e c conhecidos, podemos encontrar b usando a relação:
Substituindo os valores:
Passo 7
Agora que temos a e b, podemos escrever a equação da hipérbole:
Resposta
A equação da hipérbole é:
Curva
O gráfico dessa hipérbole tem um eixo transversal no eixo x, com vértices em e , e abre para os lados esquerdo e direito. Os focos estão localizados em e .