Determine uma equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas. Esboce o gráfico. Focos F1(-5,0), F2(5,0), vérices A1(-3,0), A2(3,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a equação de uma hipérbole com focos em F1(-5,0) e F2(5,0), e vértices em A1(-3,0) e A2(3,0). Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com as propriedades das hipérboles. Para resolver isso, vamos precisar entender como usar as coordenadas dos focos e vértices para encontrar os parâmetros da equação da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a forma padrão da equação de uma hipérbole com eixo transversal no eixo x é:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
Aqui, a representa a distância do centro aos vértices, e c é a distância do centro aos focos. Além disso, existe uma relação importante entre esses valores:
c^2 = a^2 + b^2

Passo 3

Vamos identificar o centro da hipérbole. Como os vértices são A1(-3,0) e A2(3,0), o centro fica exatamente no meio deles. Calculando a média das coordenadas:
Centro = ( -3 + 32, 0 + 02 ) = (0, 0)
Então, o centro está na origem (0,0).

Passo 4

Agora, vamos encontrar o valor de a, que é a distância do centro aos vértices. Como os vértices estão em (-3,0) e (3,0), a distância é 3 unidades. Portanto:
a = 3

Passo 5

Em seguida, vamos determinar o valor de c, que é a distância do centro aos focos. Os focos estão em (-5,0) e (5,0), então:
c = 5

Passo 6

Com a e c conhecidos, podemos encontrar b usando a relação:
c^2 = a^2 + b^2
Substituindo os valores:
5^2 = 3^2 + b^2 25 = 9 + b^2 b^2 = 25 - 9 b^2 = 16 b = 4

Passo 7

Agora que temos a e b, podemos escrever a equação da hipérbole:
x^23^2 - y^24^2 = 1 x^29 - y^216 = 1

Resposta

A equação da hipérbole é:
x^29 - y^216 = 1

Curva

O gráfico dessa hipérbole tem um eixo transversal no eixo x, com vértices em (-3,0) e (3,0), e abre para os lados esquerdo e direito. Os focos estão localizados em (-5,0) e (5,0).

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