Considere o subespaço de definido por . Apresente um vetor que não pertence a U. Justifique sua resposta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um subespaço de todas as matrizes com números reais, definido pela condição . Nosso objetivo é encontrar uma matriz que não pertença a esse subespaço e explicar por quê. Para isso, vamos precisar saber o que define um subespaço e como verificar se uma matriz pertence ou não a ele.
Passo 2
Um subespaço é um conjunto de vetores (neste caso, matrizes) que satisfaz certas condições. No nosso caso, a condição é que, para qualquer matriz a & b c & d em , a relação deve ser verdadeira. Então, para verificar se uma matriz pertence a , basta substituir seus elementos na equação e ver se ela se mantém.
Passo 3
Vamos escolher uma matriz qualquer e verificar se ela satisfaz a condição 1 & 0 0 & 1 . Se não satisfizer, então essa matriz não pertence a . Por exemplo, vamos considerar a matriz .
Passo 4
Agora, vamos substituir os elementos dessa matriz na condição:
a - 2c + d = 1 - 2(0) + 1 = 1 + 0 + 1 = 2
Como , a condição não é satisfeita.
Passo 5
Como a matriz 1 & 0 0 & 1 não satisfaz a condição , ela não pertence ao subespaço .