Considere os pontos A=(0,1,5), B=(1,0,2) e C=(-1,1,1).
Qual a área deste retângulo?

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos três pontos no espaço tridimensional, , e . Precisamos encontrar a área do retângulo formado por esses pontos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores no espaço, como cálculo de vetores, módulo e verificação de perpendicularidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que representam os lados do retângulo. Vamos calcular os vetores AB = B - A = (1-0,, 0-1,, 2-5) = (1,, -1,, -3) e BC = C - B = (-1-1,, 1-0,, 1-2) = (-2,, 1,, -1) .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se os vetores AB cdot BC = (1)(-2) + (-1)(1) + (-3)(-1) = -2 -1 +3 = 0 e são perpendiculares. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero.
Como o produto escalar é zero, os vetores são perpendiculares.

Passo 4

Em seguida, calculamos o módulo (ou comprimento) dos vetores |AB| = raiz1^2 + (-1)^2 + (-3)^2 = raiz1 + 1 + 9 = raiz11 e |BC| = raiz(-2)^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6 .

Passo 5

Finalmente, para encontrar a área do retângulo, multiplicamos os módulos dos dois vetores perpendiculares.
Área = |AB| times |BC| = raiz11 times raiz6 = raiz66 Á

Resposta

A área do retângulo é .

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