Calcule o menor ângulo theta formado pelas retas:
r: y=2 x+3 e s: y=-x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o menor ângulo theta formado pelas retas r: y=2x+3 e s: y=-x+1. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente como encontrar o ângulo entre duas retas a partir das suas inclinações (os coeficientes angulares).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes angulares das duas retas. Na equação da reta na forma y = mx + b, o m representa o coeficiente angular.
  • Para a reta r: y = 2x + 3, o coeficiente angular m1 é 2.
  • Para a reta s: y = -x + 1, o coeficiente angular m2 é -1.

Passo 3

Agora que temos os coeficientes angulares, vamos usar a fórmula para encontrar o ângulo theta entre duas retas:
tan(theta) = | m2 - m11 + m1 m2 |
Essa fórmula nos dá o valor do tangente do ângulo entre as duas retas.

Passo 4

Vamos substituir os valores dos coeficientes angulares na fórmula:
tan(theta) = | (-1) - 21 + (2)(-1) | = | -31 - 2 | = | -3-1 | = 3
Então, tan(theta) = 3.

Passo 5

Para encontrar o ângulo theta, precisamos calcular o arco-tangente de 3:
theta = arctan(3)
Usando uma calculadora, encontramos que:
theta approx 71,57^circ

Resposta

O menor ângulo formado pelas retas r e s é aproximadamente 71,57^circ.

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