Calcule pelo menos 3 das seguintes integrais
(d) integralC(3 x^2 y z) d s C:(x(t), y(t), z(t))=(t, t^2, 23 t^3) t in[0,1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O enunciado pede para calcular , onde a curva é definida pelas funções paramétricas , e para entre 0 e 1. Vamos usar o cálculo de integrais de linha, que envolve parametrizar a curva e calcular a magnitude do vetor derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como parametrizar uma curva para integrais de linha. Quando temos uma curva integralC f(x, y, z) , ds = integrala^b f(x(t), y(t), z(t)) , | r'(t) | , dt definida por , e , podemos expressar a integral como:
Aqui, é a derivada do vetor posição em relação a , e é a sua magnitude, que representa um elemento de arco .

Passo 3

Vamos encontrar r'(t) = ( dxdt, dydt, dzdt ) = ( 1, 2t, 2t^2 ) , que é a derivada das funções paramétricas:
| r'(t) | = raiz1^2 + (2t)^2 + (2t^2)^2 = raiz1 + 4t^2 + 4t^4
Agora, calculamos a magnitude de :

Passo 4

Agora, substituímos f(x(t), y(t), z(t)) = 3(t)^2 cdot t^2 cdot 23 t^3 = 3t^2 cdot t^2 cdot 23 t^3 = 2t^7 , e na função :

Passo 5

Agora, montamos a integral com tudo que calculamos:
integral0^1 2t^7 cdot raiz1 + 4t^2 + 4t^4 , dt
Essa integral pode ser complicada de resolver analiticamente, então vamos simplificar o termo dentro da raiz:
raiz1 + 4t^2 + 4t^4 = raiz(2t^2 + 2t + 1)(2t^2 - 2t + 1) (tentativa de fatoração) çã
No entanto, para simplificar, reconhecemos que raiz1 + 4t^2 + 4t^4 = 2t^2 + 1 , então:

Passo 6

Substituindo de volta na integral:
integral0^1 2t^7 cdot (2t^2 + 1) , dt = integral0^1 (4t^9 + 2t^7) , dt
Agora, integramos termo a termo:
integral 4t^9 , dt = 410 t^10 = 25 t^10
integral 2t^7 , dt = 28 t^8 = 14 t^8

Passo 7

Avaliaremos as integrais de 0 a 1:
[ 25 t^10 + 14 t^8 ]0^1 = ( 25 cdot 1^10 + 14 cdot 1^8 ) - ( 25 cdot 0 + 14 cdot 0 ) = 25 + 14
Agora, somamos as frações:
25 + 14 = 820 + 520 = 1320

Resposta

A integral vale .

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