Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O enunciado pede para calcular , onde a curva é definida pelas funções paramétricas , e para entre 0 e 1. Vamos usar o cálculo de integrais de linha, que envolve parametrizar a curva e calcular a magnitude do vetor derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como parametrizar uma curva para integrais de linha. Quando temos uma curva definida por , e , podemos expressar a integral como:
Aqui, é a derivada do vetor posição em relação a , e é a sua magnitude, que representa um elemento de arco .
Passo 3
Vamos encontrar , que é a derivada das funções paramétricas:
Agora, calculamos a magnitude de :
Passo 4
Agora, substituímos , e na função :
Passo 5
Agora, montamos a integral com tudo que calculamos:
Essa integral pode ser complicada de resolver analiticamente, então vamos simplificar o termo dentro da raiz:
No entanto, para simplificar, reconhecemos que , então: