Calcule pelo menos 3 das seguintes integrais
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O enunciado pede para calcular , onde a curva é definida pelas funções paramétricas , e para entre 0 e 1. Vamos usar o cálculo de integrais de linha, que envolve parametrizar a curva e calcular a magnitude do vetor derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como parametrizar uma curva para integrais de linha. Quando temos uma curva definida por , e , podemos expressar a integral como:
Aqui, é a derivada do vetor posição em relação a , e é a sua magnitude, que representa um elemento de arco .

Passo 3

Vamos encontrar , que é a derivada das funções paramétricas:
Agora, calculamos a magnitude de :

Passo 4

Agora, substituímos , e na função :

Passo 5

Agora, montamos a integral com tudo que calculamos:
Essa integral pode ser complicada de resolver analiticamente, então vamos simplificar o termo dentro da raiz:
çã
No entanto, para simplificar, reconhecemos que , então:

Passo 6

Substituindo de volta na integral:
Agora, integramos termo a termo:

Passo 7

Avaliaremos as integrais de 0 a 1:
Agora, somamos as frações:

Resposta

A integral vale .

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Seja :
, utilizando derivadas parciais calcule:
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