Calcule pelo menos 3 das seguintes integrais
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O enunciado pede para calcular
, onde a curva
é definida pelas funções paramétricas
,
e
para
entre 0 e 1. Vamos usar o cálculo de integrais de linha, que envolve parametrizar a curva e calcular a magnitude do vetor derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como parametrizar uma curva para integrais de linha. Quando temos uma curva
definida por
,
e
, podemos expressar a integral como:
Aqui,
é a derivada do vetor posição em relação a
, e
é a sua magnitude, que representa um elemento de arco
.
Passo 3
Vamos encontrar
, que é a derivada das funções paramétricas:
Agora, calculamos a magnitude de
:
Passo 4
Agora, substituímos
,
e
na função
:
Passo 5
Agora, montamos a integral com tudo que calculamos:
Essa integral pode ser complicada de resolver analiticamente, então vamos simplificar o termo dentro da raiz:
No entanto, para simplificar, reconhecemos que
, então:
Passo 6
Substituindo de volta na integral:
Agora, integramos termo a termo:
Passo 7
Avaliaremos as integrais de 0 a 1:
Agora, somamos as frações:
Resposta
A integral
vale
.