Seja : , utilizando derivadas parciais calcule: b - F(x, y * z) = (x^3 * y + 3, x * y * z, x^2 + y * z * x^3 + 1), utilizando derivadas parciais calcule: 1 - F(3 ; 4,001 ; 6)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial F(x, y, z) definida como:
O exercício quer que a gente calcule F(3; 4,001; 6) usando derivadas parciais. Então, vamos precisar entender como usar derivadas parciais para aproximar o valor da função em um ponto próximo de outro ponto onde a gente já conhece o valor da função.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto base, que é F(3; 4; 6). Isso vai nos ajudar a entender como a função se comporta nesse ponto.
Calculando cada componente:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Então,
Passo 3
Agora, queremos calcular F(3; 4,001; 6), que é um ponto bem próximo de F(3; 4; 6). Para isso, vamos usar a aproximação linear baseada nas derivadas parciais, que nos ajuda a estimar pequenas mudanças na função quando as variáveis mudam um pouquinho.
A ideia é usar a seguinte fórmula de aproximação:
No nosso caso, a = 3, b = 4, c = 6, e as variações são:
áãá
ç
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de F em relação a y e z no ponto (3; 4; 6).
Primeira componente de F:
ã
No ponto (3; 4; 6):
Segunda componente de F:
No ponto (3; 4; 6):
Terceira componente de F:
No ponto (3; 4; 6):
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula de aproximação:
Já que Δa = 0 e Δc = 0, só precisamos considerar Δy = 0,001.