Seja :
a - F(x, y) = (x^3*y + 3, x*y), utilizando derivadas parciais calcule:
b - F(x, y * z) = (x^3 * y + 3, x * y * z, x^2 + y * z * x^3 + 1), utilizando derivadas parciais calcule:
1 - F(3 ; 4,001 ; 6)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial F(x, y, z) definida como:
O exercício quer que a gente calcule F(3; 4,001; 6) usando derivadas parciais. Então, vamos precisar entender como usar derivadas parciais para aproximar o valor da função em um ponto próximo de outro ponto onde a gente já conhece o valor da função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto base, que é F(3; 4; 6). Isso vai nos ajudar a entender como a função se comporta nesse ponto.
Calculando cada componente:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:
Então,

Passo 3

Agora, queremos calcular F(3; 4,001; 6), que é um ponto bem próximo de F(3; 4; 6). Para isso, vamos usar a aproximação linear baseada nas derivadas parciais, que nos ajuda a estimar pequenas mudanças na função quando as variáveis mudam um pouquinho.
A ideia é usar a seguinte fórmula de aproximação:
No nosso caso, a = 3, b = 4, c = 6, e as variações são:
áãá
ç

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de F em relação a y e z no ponto (3; 4; 6).
  1. Primeira componente de F:
ã
No ponto (3; 4; 6):
  1. Segunda componente de F:
No ponto (3; 4; 6):
  1. Terceira componente de F:
No ponto (3; 4; 6):

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula de aproximação:
Já que Δa = 0 e Δc = 0, só precisamos considerar Δy = 0,001.
Calculando cada componente:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:

Resposta

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