Exercício 8. Para cada série abaixo encontre a forma fechada e verifique se a série converge ou diverge. Se converge, determine qual é o valor da soma.
b) Dica: Nesse exercicio é necessário usar a definição . Isso é, pri-
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a forma fechada da série
Além disso, precisamos verificar se essa série converge ou diverge e, se convergir, determinar o valor da soma. Para isso, vamos usar a definição de soma de uma série infinita:
Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Observe que:
Então, a série fica:
Passo 3
Vamos usar uma propriedade dos logaritmos que diz que a soma de logaritmos é igual ao logaritmo do produto:
Aplicando isso à nossa série, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto dentro do logaritmo:
Podemos separar em dois produtos:
Agora, vamos simplificar cada um desses produtos.
Passo 5
Para o primeiro produto:
Isso porque praticamente todos os termos se cancelam.
Passo 6
Para o segundo produto:
Novamente, a maior parte dos termos se cancela.
Passo 7
Multiplicando os dois resultados:
Então, nossa soma parcial fica:
Passo 8
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito: