• Exercício 8. Para cada série abaixo encontre a forma fechada e verifique se a série converge ou diverge. Se converge, determine qual é o valor da soma.
    b) ln (1-14)+ln (1-19)+ln (1-116)+cdots+ln (1-1(n+1)^2)+cdots Dica: Nesse exercicio é necessário usar a definição sum^infty an=lim sum^N an. Isso é, pri-

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a forma fechada da série
ln (1-14) + ln (1-19) + ln (1-116) + cdots + ln (1-1(n+1)^2) + cdots
Além disso, precisamos verificar se essa série converge ou diverge e, se convergir, determinar o valor da soma. Para isso, vamos usar a definição de soma de uma série infinita:
sum^infty an = limN to infty sum^N an
Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Observe que:
1 - 1(n+1)^2 = (n+1)^2 - 1(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 - 1(n+1)^2 = n(n + 2)(n+1)^2
Então, a série fica:
sumn=1^infty ln(n(n + 2)(n+1)^2)

Passo 3

Vamos usar uma propriedade dos logaritmos que diz que a soma de logaritmos é igual ao logaritmo do produto:
sumn=1^N ln(an) = ln(prodn=1^N an)
Aplicando isso à nossa série, temos:
sumn=1^N ln(n(n + 2)(n+1)^2) = ln(prodn=1^N n(n + 2)(n+1)^2)

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto dentro do logaritmo:
prodn=1^N n(n + 2)(n+1)^2 = prodn=1^N nn+1 cdot n+2n+1
Podemos separar em dois produtos:
(prodn=1^N nn+1) cdot (prodn=1^N n+2n+1)
Agora, vamos simplificar cada um desses produtos.

Passo 5

Para o primeiro produto:
prodn=1^N nn+1 = 12 cdot 23 cdot 34 cdot cdots cdot NN+1 = 1N+1
Isso porque praticamente todos os termos se cancelam.

Passo 6

Para o segundo produto:
prodn=1^N n+2n+1 = 32 cdot 43 cdot 54 cdot cdots cdot N+2N+1 = N+22
Novamente, a maior parte dos termos se cancela.

Passo 7

Multiplicando os dois resultados:
prodn=1^N n(n + 2)(n+1)^2 = 1N+1 cdot N+22 = N+22(N+1)
Então, nossa soma parcial fica:
sumn=1^N ln(n(n + 2)(n+1)^2) = ln(N+22(N+1))

Passo 8

Agora, vamos calcular o limite quando limN to infty ln(N+22(N+1)) = ln(limN to infty N+22(N+1)) tende ao infinito:
N+22(N+1) = N2N cdot 1 + 2N1 + 1N approx 12 quando N to infty
Simplificando a fração dentro do logaritmo:
ln(12) = -ln(2)
Portanto:

Resposta

A série converge e a soma é .

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