• Exercício 8. Para cada série abaixo encontre a forma fechada e verifique se a série converge ou diverge. Se converge, determine qual é o valor da soma.
    b) Dica: Nesse exercicio é necessário usar a definição . Isso é, pri-

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a forma fechada da série
Além disso, precisamos verificar se essa série converge ou diverge e, se convergir, determinar o valor da soma. Para isso, vamos usar a definição de soma de uma série infinita:
Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Observe que:
Então, a série fica:

Passo 3

Vamos usar uma propriedade dos logaritmos que diz que a soma de logaritmos é igual ao logaritmo do produto:
Aplicando isso à nossa série, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto dentro do logaritmo:
Podemos separar em dois produtos:
Agora, vamos simplificar cada um desses produtos.

Passo 5

Para o primeiro produto:
Isso porque praticamente todos os termos se cancelam.

Passo 6

Para o segundo produto:
Novamente, a maior parte dos termos se cancela.

Passo 7

Multiplicando os dois resultados:
Então, nossa soma parcial fica:

Passo 8

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Simplificando a fração dentro do logaritmo:
Portanto:

Resposta

A série converge e a soma é .

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Calcule pelo menos 3 das seguintes integrais
(d)
Mude a ordem de integração
Seja :
, utilizando derivadas parciais calcule:
, utilizando derivadas parciais calcule:
Pra cada uma das curvas, indique uma equação cartesiana e esboce o gráfico :