Determine o volume do sólido formado pela região abaixo da superfície e acima da região limitada pelo pano .

Passo 1

Vamos analisar o problema! Precisamos encontrar o volume do sólido que está abaixo da superfície e acima da região limitada pelo plano . Isso envolve cálculo de integrais duplas e o uso de coordenadas polares para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, entendemos a região de integração. A superfície é um paraboloide que se abre para baixo. Para encontrar onde essa superfície intercepta o plano , igualamos a zero:
Isso nos mostra que a região de integração é um círculo com raio no plano .

Passo 3

Para calcular o volume, vamos usar coordenadas polares, já que a região é circular. Em coordenadas polares, as equações ficam:
E a área diferencial em coordenadas polares é .

Passo 4

Expressamos a função em coordenadas polares:
O volume é então a integral dupla da função sobre a região circular:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a :

Passo 6

Agora, resolvemos a integral externa em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

O cilindro deitado no eixo x é dado por e .
Cácule o volume usando integral dupla.
Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais.
(a)
Mude a ordem de integração
Calcule pelo menos 3 das seguintes integrais
(d)