Determine o volume do sólido formado pela região abaixo da superfície
e acima da região limitada pelo pano
.
Passo 1
Vamos analisar o problema! Precisamos encontrar o volume do sólido que está abaixo da superfície
e acima da região limitada pelo plano
. Isso envolve cálculo de integrais duplas e o uso de coordenadas polares para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, entendemos a região de integração. A superfície
é um paraboloide que se abre para baixo. Para encontrar onde essa superfície intercepta o plano
, igualamos
a zero:
Isso nos mostra que a região de integração é um círculo com raio
no plano
.
Passo 3
Para calcular o volume, vamos usar coordenadas polares, já que a região é circular. Em coordenadas polares, as equações ficam:
E a área diferencial em coordenadas polares é
.
Passo 4
Expressamos a função
em coordenadas polares:
O volume
é então a integral dupla da função
sobre a região circular:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 6
Agora, resolvemos a integral externa em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
O cilindro deitado no eixo x é dado por
e
.
Cácule o volume usando integral dupla.
Cácule o volume usando integral dupla.
Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais.
(a)
(a)
Mude a ordem de integração
Calcule pelo menos 3 das seguintes integrais
(d)
(d)