Calcule pelo menos 3 das seguintes integrais
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! A questão pede para calcular a integral onde é a curva definida por para entre 0 e 1. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da curva . Temos que e para de 0 a 1. Isso significa que, conforme varia de 0 a 1, vai de 1 a 0 e permanece constante em 1. Então, a curva é uma linha horizontal que vai do ponto (1,1) até o ponto (0,1).

Passo 3

Agora, vamos lembrar que representa um pequeno pedaço do comprimento da curva. Para calcular , usamos a fórmula:
Vamos calcular as derivadas de e em relação a :
Substituindo na fórmula do :

Passo 4

Agora, substituímos e na integral original:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Finalmente, calculamos a integral:

Resposta

O valor da integral é 3.

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Pra cada uma das curvas, indique uma equação cartesiana e esboce o gráfico :
Considere o arco da parábola variando de até girado ao redor do eixo . Encontre a área da superfície resultante.
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Seja a curva parametrizada pela equação . Calcule as seguintes integrais de linha com relação a e com relação a y de .