Calcule pelo menos 3 das seguintes integrais
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! A questão pede para calcular a integral
onde
é a curva definida por
para
entre 0 e 1. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da curva
. Temos que
e
para
de 0 a 1. Isso significa que, conforme
varia de 0 a 1,
vai de 1 a 0 e
permanece constante em 1. Então, a curva
é uma linha horizontal que vai do ponto (1,1) até o ponto (0,1).
Passo 3
Agora, vamos lembrar que
representa um pequeno pedaço do comprimento da curva. Para calcular
, usamos a fórmula:
Vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Substituindo na fórmula do
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Finalmente, calculamos a integral:
Resposta
O valor da integral é 3.