Considere o arco da parábola variando de até girado ao redor do eixo . Encontre a área da superfície resultante.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem o arco da parábola que vai de até . A tarefa é girar essa parte da parábola em torno do eixo e encontrar a área da superfície que vai formar. Para resolver isso, a gente vai precisar saber sobre cálculo de áreas de superfícies de revolução e usar um pouquinho de derivada. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a área da superfície quando a gente gira uma curva ao redor do eixo . A fórmula é:
Aqui, e são os limites de (no nosso caso, 1 e 2), é a coordenada que se move ao redor do eixo, e é a derivada da função.
Passo 3
Vamos identificar o que temos e o que precisamos:
Função:
Limites de integração: de a
Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a , ou seja, .
Passo 4
Calculando a derivada:
Agora, vamos substituir isso na fórmula da área.
Passo 5
Substituindo na fórmula da área:
Essa integral vai nos dar a área da superfície desejada.
Passo 6
Para resolver a integral, vamos usar uma substituição. Deixe: