Considere o arco da parábola variando de até girado ao redor do eixo . Encontre a área da superfície resultante.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem o arco da parábola que vai de até . A tarefa é girar essa parte da parábola em torno do eixo e encontrar a área da superfície que vai formar. Para resolver isso, a gente vai precisar saber sobre cálculo de áreas de superfícies de revolução e usar um pouquinho de derivada. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a área da superfície quando a gente gira uma curva ao redor do eixo . A fórmula é:
Aqui, e são os limites de (no nosso caso, 1 e 2), é a coordenada que se move ao redor do eixo, e é a derivada da função.

Passo 3

Vamos identificar o que temos e o que precisamos:
  • Função:
  • Limites de integração: de a
Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a , ou seja, .

Passo 4

Calculando a derivada:
Agora, vamos substituir isso na fórmula da área.

Passo 5

Substituindo na fórmula da área:
Essa integral vai nos dar a área da superfície desejada.

Passo 6

Para resolver a integral, vamos usar uma substituição. Deixe:
Substituindo na integral:
Integrando:
Voltando para :
Agora, vamos calcular nos limites e :
Para :
Para :
Substituindo na expressão:

Resposta

A área da superfície resultante é:

Exercícios relacionados

Encontre a forma fechada de cada uma das séries. (Isso é, com a notação de somatório)
  • Exercício 8. Para cada série abaixo encontre a forma fechada e verifique se a série converge ou diverge. Se converge, determine qual é o valor da soma.
    b)
    Dica: Nesse exercício é necessário usar a definição . Isso é, primeiro determine a soma parcial até o n-ésimo termo e depois faça o limite.
    b) Verifique que essa série pode ser reescrita como sendo
Pra cada uma das curvas, indique uma equação cartesiana e esboce o gráfico :
Calcule pelo menos 3 das seguintes integrais
(b)