Pra cada uma das curvas, indique uma equação cartesiana e esboce o gráfico :
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma equação cartesiana para cada uma das curvas dadas pelas equações paramétricas
e
, onde
é um número real. Aqui, estamos lidando com funções hiperbólicas, então vamos usar um pouco de trigonometria hiperbólica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das definições das funções hiperbólicas:
Essas funções têm uma propriedade importante que vamos usar:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
nas funções:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 4
Subtraindo essas duas equações:
E sabemos que
, então:
Passo 5
Essa é a equação cartesiana que representa a curva. Agora, para esboçar o gráfico, reconhecemos que
é a equação de uma hipérbole com eixo real ao longo do eixo
, centrada na origem.
Resposta
A equação cartesiana da curva é
, que representa uma hipérbole com eixo real no eixo
.
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variando de
até
girado ao redor do eixo
. Encontre a área da superfície resultante.
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Calcule pelo menos 3 das seguintes integrais
(b)
(b)
Pra cada uma das curvas, indique uma equação cartesiana e esboce o gráfico :