Pra cada uma das curvas, indique uma equação cartesiana e esboce o gráfico :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma equação cartesiana para cada uma das curvas dadas pelas equações paramétricas e , onde é um número real. Aqui, estamos lidando com funções hiperbólicas, então vamos usar um pouco de trigonometria hiperbólica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das definições das funções hiperbólicas:
Essas funções têm uma propriedade importante que vamos usar:

Passo 3

Agora, vamos substituir e nas funções:
Elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 4

Subtraindo essas duas equações:
E sabemos que , então:

Passo 5

Essa é a equação cartesiana que representa a curva. Agora, para esboçar o gráfico, reconhecemos que é a equação de uma hipérbole com eixo real ao longo do eixo , centrada na origem.

Resposta

A equação cartesiana da curva é , que representa uma hipérbole com eixo real no eixo .

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Calcule pelo menos 3 das seguintes integrais
(b)
Pra cada uma das curvas, indique uma equação cartesiana e esboce o gráfico :