Seja :
, utilizando derivadas parciais calcule:
, utilizando derivadas parciais calcule:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos uma função vetorial que depende das variáveis e (e depois também de no item b). A ideia é usar derivadas parciais para calcular algumas coisas relacionadas a essa função. Vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar isso nas funções dadas para chegar nas respostas finais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função . Essa é uma função vetorial com duas componentes:
Queremos calcular as derivadas parciais dessa função em relação a e .

Passo 3

Vamos lembrar que derivadas parciais são aquelas onde derivamos uma função em relação a uma variável, mantendo a outra constante.
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de e em relação a e .
Para :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :
Para :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos para o item b. A função está um pouco mais complicada:
Aqui, além de e , temos uma terceira variável . Vamos tratar como uma única variável composta para facilitar os cálculos.
Primeiro, nomeamos as componentes:
Vamos calcular as derivadas parciais de cada componente em relação a , e .

Passo 5

Calculando as derivadas parciais:
Para :
  • Em relação a :
  • Em relação a :
  • Em relação a : ã
Para :
  • Em relação a :
  • Em relação a :
  • Em relação a :
Para :
  • Em relação a :
  • Em relação a :
  • Em relação a :

Passo 6

Agora, vamos para o item 2, que pede para calcular .
Parece que há um pequeno erro de digitação, então vamos interpretar que os valores são , e .
Vamos substituir esses valores nas derivadas parciais que calculamos anteriormente.
Para :
Para :
Para :

Passo 7

Agora, vamos calcular os valores numéricos:
Para :
Para :
Para :

Resposta

As derivadas parciais de são:

Exercícios relacionados

Calcule pelo menos 3 das seguintes integrais
(a)
Esboce o gráfico dos seguintes campos vetoriais:
5.
Calcule pelo menos 3 das seguintes integrais
(h)
Verifique se é uma função potencial de .
(a) e