Seja :
a - F(x, y) = (x^3*y + 3, x*y), utilizando derivadas parciais calcule:
b - F(x, y * z) = (x^3 * y + 3, x * y * z, x^2 + y * z * x^3 + 1), utilizando derivadas parciais calcule:
2 - F(3,003 ; 4 ; 7)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos uma função vetorial que depende das variáveis e (e depois também de no item b). A ideia é usar derivadas parciais para calcular algumas coisas relacionadas a essa função. Vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar isso nas funções dadas para chegar nas respostas finais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função . Essa é uma função vetorial com duas componentes:
Queremos calcular as derivadas parciais dessa função em relação a e .

Passo 3

Vamos lembrar que derivadas parciais são aquelas onde derivamos uma função em relação a uma variável, mantendo a outra constante.
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de e em relação a e .
Para :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :
Para :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos para o item b. A função está um pouco mais complicada:
Aqui, além de e , temos uma terceira variável . Vamos tratar como uma única variável composta para facilitar os cálculos.
Primeiro, nomeamos as componentes:
Vamos calcular as derivadas parciais de cada componente em relação a , e .

Passo 5

Calculando as derivadas parciais:
Para :
  • Em relação a :
  • Em relação a :
  • Em relação a : ã
Para :
  • Em relação a :
  • Em relação a :
  • Em relação a :
Para :
  • Em relação a :
  • Em relação a :
  • Em relação a :

Passo 6

Agora, vamos para o item 2, que pede para calcular .
Parece que há um pequeno erro de digitação, então vamos interpretar que os valores são , e .
Vamos substituir esses valores nas derivadas parciais que calculamos anteriormente.
Para :
Para :
Para :

Passo 7

Agora, vamos calcular os valores numéricos:
Para :
Para :
Para :

Resposta

As derivadas parciais de são:

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