Calcule pelo menos 3 das seguintes integrais
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Isso envolve cálculo de integrais em curvas, onde a gente soma uma função ao longo de uma trajetória. Para isso, vamos precisar parametrizar a curva
e encontrar o elemento de comprimento
.
Passo 2
Primeiro, a curva
está parametrizada por com
variando de
a
. Isso significa que à medida que
muda nesse intervalo, os pontos
percorrem a curva
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o elemento de comprimento
. Para curvas parametrizadas,
é dado por:
Vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Agora, substituímos na expressão de
.
Passo 5
Substituindo as derivadas em
:
Sabemos que , então:
Passo 6
Agora, substituímos
e
na função
:
Portanto, a integral fica:
Passo 7
Calculando a integral:
Resposta
O valor da integral é
.