Calcule pelo menos 3 das seguintes integrais
(a) integralC(x^2+y^2) d s C:(x(t), y(t))=(cos (t), sen(t)) t in[-pi2, pi2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso envolve cálculo de integrais em curvas, onde a gente soma uma função ao longo de uma trajetória. Para isso, vamos precisar parametrizar a curva e encontrar o elemento de comprimento .

Passo 2

Primeiro, a curva está parametrizada por com variando de a . Isso significa que à medida que muda nesse intervalo, os pontos percorrem a curva .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de comprimento ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt . Para curvas parametrizadas, é dado por:
Vamos calcular as derivadas de e em relação a .

Passo 4

Calculando as derivadas:
dxdt = -sen(t)
Agora, substituímos na expressão de dydt = cos(t) .

Passo 5

Substituindo as derivadas em ds = raiz(-sen(t))^2 + (cos(t))^2 , dt = raizsen^2(t) + cos^2(t) , dt :
Sabemos que , então:
ds = raiz1 , dt = dt

Passo 6

Agora, substituímos x^2 + y^2 = cos^2(t) + sen^2(t) = 1 e integralC (x^2 + y^2) , ds = integral-pi2^pi2 1 , dt na função :
Portanto, a integral fica:

Passo 7

Calculando a integral:
integral-pi2^pi2 1 , dt = [ t ]-pi2^pi2 = pi2 - (-pi2) = pi

Resposta

O valor da integral é .

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