Esboce o gráfico dos seguintes campos vetoriais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar o gráfico do campo vetorial . Isso faz parte da matéria de Cálculo Vetorial, onde estudamos como representar e interpretar campos vetoriais no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo vetorial e como representar os vetores em cada ponto do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial. Um campo vetorial é como um mapa que atribui um vetor para cada ponto no plano. No nosso caso, o vetor em cada ponto é dado por . Isso significa que, para cada ponto , temos um vetor com componente na direção horizontal e na direção vertical.

Passo 3

Agora, vamos analisar como esses vetores se comportam em diferentes pontos do plano. Vamos considerar alguns pontos específicos para visualizar melhor:
  • Ponto (1, 1): O vetor será . Isso significa que o vetor aponta 1 unidade para a direita e 1 unidade para baixo.
  • Ponto (-1, -1): O vetor será . Aqui, o vetor aponta 1 unidade para a esquerda e 1 unidade para cima.
  • Ponto (2, 0): O vetor será . Nesse caso, o vetor aponta 2 unidades para a direita e não tem componente vertical.
  • Ponto (0, 2): O vetor será . Aqui, o vetor aponta 2 unidades para baixo e não tem componente horizontal.

Passo 4

Vamos notar um padrão interessante. A componente horizontal do vetor é igual à coordenada , e a componente vertical é o oposto da coordenada . Isso significa que:
  • Para , os vetores apontam para a direita; para , para a esquerda.
  • Para , os vetores apontam para baixo; para , para cima.
Esse comportamento cria um padrão simétrico no plano, com os vetores refletindo-se em relação aos eixos.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, vamos imaginar que em cada ponto do plano, desenhamos um pequeno vetor com as componentes . Observando os padrões que vimos:
  • Nos quadrantes I e III, os vetores têm componentes opostas: um aponta para a direita e para baixo, e o outro para a esquerda e para cima.
  • Nos quadrantes II e IV, segue a mesma lógica, mantendo a simetria.
Além disso, ao longo dos eixos, os vetores serão paralelos ou perpendiculares, dependendo da direção.

Resposta

Então, o esboço do campo vetorial apresenta vetores que aumentam em magnitude à medida que nos afastamos da origem, com direções que refletem a posição relativa aos eixos. Nos quadrantes I e III, os vetores apontam para a direita e para baixo ou para a esquerda e para cima, respectivamente. Nos quadrantes II e IV, os vetores seguem uma direção similar, mantendo a simetria do campo. Esse padrão cria um visual de fluxos que se afastam ou convergem na origem de maneira equilibrada.

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