Esboce o gráfico dos seguintes campos vetoriais:
5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa esboçar o gráfico do campo vetorial . Isso faz parte do estudo de campos vetoriais na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver, vamos precisar entender como cada componente do vetor se comporta no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função vetorial . Isso significa que para cada ponto no espaço, o vetor do campo tem uma componente na direção igual a , nenhuma componente na direção (pois é ), e uma componente na direção igual a .

Passo 3

Vamos entender o que isso significa graficamente. O fato de a componente ser sempre zero indica que os vetores estão sempre no plano . Ou seja, não há movimento no eixo .

Passo 4

Agora, olhando para as componentes e , vemos que elas são proporcionais às próprias coordenadas e . Isso significa que os vetores vão apontar na direção positiva ou negativa dependendo dos valores de e . Por exemplo:
  • Se , o vetor aponta para a direita no eixo .
  • Se , o vetor aponta para a esquerda no eixo .
  • Se , o vetor aponta para cima no eixo .
  • Se , o vetor aponta para baixo no eixo .

Passo 5

Para esboçar o gráfico, imagine o plano com vetores desenhados em cada ponto . Cada vetor terá uma direção que segue a linha diagonal do ponto, já que suas componentes e são iguais às coordenadas. Isso cria um campo que parece estar se afastando da origem em todas as direções ao longo do plano .

Resposta

O gráfico do campo vetorial consiste em vetores no plano que partem da origem e se afastam proporcionalmente às coordenadas e , formando um campo radial no plano sem componentes na direção .

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Esboce o gráfico dos seguintes campos vetoriais:
Calcule pelo menos 3 das seguintes integrais
(a)
Seja :
, utilizando derivadas parciais calcule:
, utilizando derivadas parciais calcule: