Esboce o gráfico dos seguintes campos vetoriais:
5.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa esboçar o gráfico do campo vetorial . Isso faz parte do estudo de campos vetoriais na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver, vamos precisar entender como cada componente do vetor se comporta no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função vetorial . Isso significa que para cada ponto no espaço, o vetor do campo tem uma componente na direção igual a , nenhuma componente na direção (pois é ), e uma componente na direção igual a .
Passo 3
Vamos entender o que isso significa graficamente. O fato de a componente ser sempre zero indica que os vetores estão sempre no plano . Ou seja, não há movimento no eixo .
Passo 4
Agora, olhando para as componentes e , vemos que elas são proporcionais às próprias coordenadas e . Isso significa que os vetores vão apontar na direção positiva ou negativa dependendo dos valores de e . Por exemplo:
Se , o vetor aponta para a direita no eixo .
Se , o vetor aponta para a esquerda no eixo .
Se , o vetor aponta para cima no eixo .
Se , o vetor aponta para baixo no eixo .
Passo 5
Para esboçar o gráfico, imagine o plano com vetores desenhados em cada ponto . Cada vetor terá uma direção que segue a linha diagonal do ponto, já que suas componentes e são iguais às coordenadas. Isso cria um campo que parece estar se afastando da origem em todas as direções ao longo do plano .
Resposta
O gráfico do campo vetorial consiste em vetores no plano que partem da origem e se afastam proporcionalmente às coordenadas e , formando um campo radial no plano sem componentes na direção .