Calcule, pelo método da bissecção, uma aproximação da raiz em cada item abaixo com tolerância (precisão) de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma raiz da equação
usando o método da bissecção com uma precisão de
. O método da bissecção é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas, dividindo repetidamente um intervalo onde a função muda de sinal. Vamos precisar identificar um intervalo inicial onde a função muda de sinal e, passo a passo, afunilar esse intervalo até chegarmos na precisão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar um intervalo
onde a função
muda de sinal, ou seja, onde
e
têm sinais opostos. Isso garante, pela Teorema de Bolzano, que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Vamos testar alguns valores:
-
Para
: -
Para
:
Como
e
, temos sinais opostos, então nosso intervalo inicial é
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método da bissecção. A ideia é calcular o ponto médio do intervalo, verificar o sinal da função nesse ponto e substituir o intervalo pela metade que contém a raiz.
Calculamos o ponto médio
:
Vamos avaliar
:
Como
e
, a raiz está no intervalo
.
Passo 4
Vamos repetir o processo com o novo intervalo
.
Calculamos o novo ponto médio
:
Avaliar
:
Agora,
e
, então a raiz está no intervalo
.
Passo 5
Continuamos com o intervalo
.
Calculamos o ponto médio
:
Avaliar
:
Como
e
, a raiz está no intervalo
.
Passo 6
Vamos novamente dividir o intervalo
.
Calculamos o ponto médio
:
Avaliar
:
Como
e
, a raiz está no intervalo
.
Passo 7
Mais uma divisão com o intervalo
.
Calculamos o ponto médio
:
Avaliar
:
Como
e
, a raiz está no intervalo
.
Passo 8
Vamos dividir o intervalo
.
Calculamos o ponto médio
:
Avaliar
:
Como
e
, a raiz está no intervalo
.
Passo 9
Dividindo o intervalo
:
Calculamos o ponto médio
:
Avaliar
:
Como
e
, a raiz está no intervalo
.
Passo 10
Novamente, dividindo
:
Calculamos o ponto médio
:
Avaliar
:
Como
e
, a raiz está no intervalo
.
Passo 11
Dividindo o intervalo
:
Calculamos o ponto médio
:
Avaliar
:
Como
e
, a raiz está no intervalo
.
Passo 12
Agora, verificamos a precisão. O tamanho do intervalo atual é:
Como
, que é a nossa tolerância
, podemos parar aqui.
Resposta
Uma aproximação da raiz da equação
pelo método da bissecção, com precisão de
, é
.
Exercícios relacionados
Mostre que a função
possui pelos menos uma raiz no intervalo [-2, 0]. Em seguida mostre que essa raiz é única.
Dadas as funções
pesquisar a existência de raízes reais e isolá-las em intervalos.
pesquisar a existência de raízes reais e isolá-las em intervalos.
Calcule, pelo método da bissecção, uma aproximação da raiz em cada item abaixo com tolerância (precisão) de
.
Calcule, pelo método da bissecção, uma aproximação da raiz em cada item abaixo com tolerância (precisão) de
.