Calcule, pelo método da bissecção, uma aproximação da raiz em cada item abaixo com tolerância (precisão) de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma raiz da equação usando o método da bissecção com uma precisão de . O método da bissecção é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas, dividindo repetidamente um intervalo onde a função muda de sinal. Vamos precisar identificar um intervalo inicial onde a função muda de sinal e, passo a passo, afunilar esse intervalo até chegarmos na precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, onde e têm sinais opostos. Isso garante, pela Teorema de Bolzano, que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Vamos testar alguns valores:
  • Para :
  • Para :
Como e , temos sinais opostos, então nosso intervalo inicial é .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método da bissecção. A ideia é calcular o ponto médio do intervalo, verificar o sinal da função nesse ponto e substituir o intervalo pela metade que contém a raiz.
Calculamos o ponto médio :
Vamos avaliar :
Como e , a raiz está no intervalo .

Passo 4

Vamos repetir o processo com o novo intervalo .
Calculamos o novo ponto médio :
Avaliar :
Agora, e , então a raiz está no intervalo .

Passo 5

Continuamos com o intervalo .
Calculamos o ponto médio :
Avaliar :
Como e , a raiz está no intervalo .

Passo 6

Vamos novamente dividir o intervalo .
Calculamos o ponto médio :
Avaliar :
Como e , a raiz está no intervalo .

Passo 7

Mais uma divisão com o intervalo .
Calculamos o ponto médio :
Avaliar :
Como e , a raiz está no intervalo .

Passo 8

Vamos dividir o intervalo .
Calculamos o ponto médio :
Avaliar :
Como e , a raiz está no intervalo .

Passo 9

Dividindo o intervalo :
Calculamos o ponto médio :
Avaliar :
Como e , a raiz está no intervalo .

Passo 10

Novamente, dividindo :
Calculamos o ponto médio :
Avaliar :
Como e , a raiz está no intervalo .

Passo 11

Dividindo o intervalo :
Calculamos o ponto médio :
Avaliar :
Como e , a raiz está no intervalo .

Passo 12

Agora, verificamos a precisão. O tamanho do intervalo atual é:
Como , que é a nossa tolerância , podemos parar aqui.

Resposta

Uma aproximação da raiz da equação pelo método da bissecção, com precisão de , é .

Exercícios relacionados

Mostre que a função possui pelos menos uma raiz no intervalo [-2, 0]. Em seguida mostre que essa raiz é única.
Dadas as funções

pesquisar a existência de raízes reais e isolá-las em intervalos.
Calcule, pelo método da bissecção, uma aproximação da raiz em cada item abaixo com tolerância (precisão) de .
Calcule, pelo método da bissecção, uma aproximação da raiz em cada item abaixo com tolerância (precisão) de .