Calcule, pelo método da bissecção, uma aproximação da raiz em cada item abaixo com tolerância (precisão) de varepsilon=10^-2.
x^3-x-1=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma raiz da equação usando o método da bissecção com uma precisão de . O método da bissecção é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas, dividindo repetidamente um intervalo onde a função muda de sinal. Vamos precisar identificar um intervalo inicial onde a função muda de sinal e, passo a passo, afunilar esse intervalo até chegarmos na precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um intervalo f(1) = 1^3 - 1 - 1 = -1 onde a função f(2) = 2^3 - 2 - 1 = 5 muda de sinal, ou seja, onde e têm sinais opostos. Isso garante, pela Teorema de Bolzano, que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Vamos testar alguns valores:
  • Para :
  • Para :
Como e , temos sinais opostos, então nosso intervalo inicial é .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método da bissecção. A ideia é calcular o ponto médio do intervalo, verificar o sinal da função nesse ponto e substituir o intervalo pela metade que contém a raiz.
Calculamos o ponto médio c = a + b2 = 1 + 22 = 1,5 :
f(1,5) = (1,5)^3 - 1,5 - 1 = 3,375 - 1,5 - 1 = 0,875
Vamos avaliar :
Como e , a raiz está no intervalo .

Passo 4

Vamos repetir o processo com o novo intervalo c = 1 + 1,52 = 1,25 .
Calculamos o novo ponto médio f(1,25) = (1,25)^3 - 1,25 - 1 = 1,953125 - 1,25 - 1 = -0,296875 :
Avaliar :
Agora, e , então a raiz está no intervalo .

Passo 5

Continuamos com o intervalo c = 1,25 + 1,52 = 1,375 .
Calculamos o ponto médio f(1,375) = (1,375)^3 - 1,375 - 1 approx 2,5996 - 1,375 - 1 = 0,2246 :
Avaliar :
Como e , a raiz está no intervalo .

Passo 6

Vamos novamente dividir o intervalo c = 1,25 + 1,3752 = 1,3125 .
Calculamos o ponto médio f(1,3125) = (1,3125)^3 - 1,3125 - 1 approx 2,2563 - 1,3125 - 1 = -0,0562 :
Avaliar :
Como e , a raiz está no intervalo .

Passo 7

Mais uma divisão com o intervalo c = 1,3125 + 1,3752 = 1,34375 .
Calculamos o ponto médio f(1,34375) = (1,34375)^3 - 1,34375 - 1 approx 2,4341 - 1,34375 - 1 = 0,0903 :
Avaliar :
Como e , a raiz está no intervalo .

Passo 8

Vamos dividir o intervalo c = 1,3125 + 1,343752 = 1,328125 .
Calculamos o ponto médio f(1,328125) = (1,328125)^3 - 1,328125 - 1 approx 2,3416 - 1,328125 - 1 = 0,0135 :
Avaliar :
Como e , a raiz está no intervalo .

Passo 9

Dividindo o intervalo c = 1,3125 + 1,3281252 = 1,3203125 :
Calculamos o ponto médio f(1,3203125) = (1,3203125)^3 - 1,3203125 - 1 approx 2,2920 - 1,3203125 - 1 = -0,0283 :
Avaliar :
Como e , a raiz está no intervalo .

Passo 10

Novamente, dividindo c = 1,3203125 + 1,3281252 = 1,32421875 :
Calculamos o ponto médio f(1,32421875) = (1,32421875)^3 - 1,32421875 - 1 approx 2,3163 - 1,32421875 - 1 = -0,0079 :
Avaliar :
Como e , a raiz está no intervalo .

Passo 11

Dividindo o intervalo c = 1,32421875 + 1,3281252 = 1,326171875 :
Calculamos o ponto médio f(1,326171875) = (1,326171875)^3 - 1,326171875 - 1 approx 2,3297 - 1,326171875 - 1 = 0,0035 :
Avaliar :
Como e , a raiz está no intervalo .

Passo 12

Agora, verificamos a precisão. O tamanho do intervalo atual é:
1,326171875 - 1,32421875 = 0,001953125
Como , que é a nossa tolerância , podemos parar aqui.

Resposta

Uma aproximação da raiz da equação pelo método da bissecção, com precisão de , é .

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