Dadas as funções
pesquisar a existência de raízes reais e isolá-las em intervalos.
pesquisar a existência de raízes reais e isolá-las em intervalos.
Passo 1
Vamos analisar o exercício que pede para pesquisar a existência de raízes reais da função
e isolá-las em intervalos. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de funções contínuas e o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a determinar onde uma função cruza o eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Ela é composta por duas partes:
-
: uma parábola que abre para cima. -
: uma função periódica que oscila entre -1 e 1.
Como queremos encontrar onde
, estamos procurando os valores de
onde
.
Passo 3
Vamos verificar alguns valores específicos de
para ter uma ideia de onde as raízes podem estar:
-
Para
: Portanto,é uma raiz real. -
Para
: -
Para
:
Passo 4
Observamos que em
,
. Entre
e
,
passa de 0 para aproximadamente 0,1585, indicando que não há outra raiz nesse intervalo. O mesmo ocorre para
.
Passo 5
Além disso, à medida que
aumenta, o termo
cresce mais rapidamente que
, o que faz com que
tiende para
. Isso sugere que não há raízes adicionais além de
.
Passo 6
Para confirmar, podemos utilizar o Teorema do Valor Intermediário. Como
é contínua em todo o domínio real e já verificamos que
é a única solução que satisfaz
, concluímos que
é a única raiz real da função.
Resposta
A função
possui uma única raiz real, que é
.
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por
:
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por
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possui pelos menos uma raiz no intervalo [-2, 0]. Em seguida mostre que essa raiz é única.
Calcule, pelo método da bissecção, uma aproximação da raiz em cada item abaixo com tolerância (precisão) de
.