Dadas as funções
f(x)=x^2-sen x
pesquisar a existência de raízes reais e isolá-las em intervalos.

Passo 1

Vamos analisar o exercício que pede para pesquisar a existência de raízes reais da função e isolá-las em intervalos. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de funções contínuas e o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a determinar onde uma função cruza o eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela é composta por duas partes:
  • : uma parábola que abre para cima.
  • : uma função periódica que oscila entre -1 e 1.
Como queremos encontrar onde , estamos procurando os valores de onde .

Passo 3

Vamos verificar alguns valores específicos de f(0) = 0^2 - sin(0) = 0 - 0 = 0 para ter uma ideia de onde as raízes podem estar:
  • Para f(1) = 1^2 - sin(1) approx 1 - 0,8415 = 0,1585 :
    f(-1) = (-1)^2 - sin(-1) = 1 + sin(1) approx 1 + 0,8415 = 1,8415
    Portanto, é uma raiz real.
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Observamos que em , . Entre e , passa de 0 para aproximadamente 0,1585, indicando que não há outra raiz nesse intervalo. O mesmo ocorre para .

Passo 5

Além disso, à medida que aumenta, o termo cresce mais rapidamente que , o que faz com que tiende para . Isso sugere que não há raízes adicionais além de .

Passo 6

Para confirmar, podemos utilizar o Teorema do Valor Intermediário. Como é contínua em todo o domínio real e já verificamos que é a única solução que satisfaz , concluímos que é a única raiz real da função.

Resposta

A função possui uma única raiz real, que é .

Exercícios relacionados