Mostre que a função
possui pelos menos uma raiz no intervalo [-2, 0]. Em seguida mostre que essa raiz é única.
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa mostrar que a função
tem pelo menos uma raiz no intervalo
e, depois, provar que essa raiz é única. Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo, como o Teorema do Valor Intermediário e a análise da derivada para verificar a unicidade da raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter uma raiz da função no intervalo
. Uma raiz é um ponto onde
. Ou seja, queremos encontrar um valor de
nesse intervalo que faz com que
.
Passo 3
Para mostrar que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário. Esse teorema diz que se uma função contínua
assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos um ponto entre eles onde
.
Passo 4
Vamos calcular
e
:
Ops, parece que ambos são negativos! Vamos revisar:
Na verdade,
Agora sim,
(positivo) e
(negativo).
Passo 5
Como
e
, e sabendo que
é contínua (porque é uma combinação de funções contínuas), pelo Teorema do Valor Intermediário, deve existir pelo menos um
no intervalo
onde
. Isso mostra que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 6
Agora, vamos provar que essa raiz é única. Para isso, vamos analisar a derivada de
:
Passo 7
Vamos ver onde
é positiva ou negativa:
- Se
, então e . - Se
, e . - Se
, e .
Isso significa que
está sempre aumentando para
e sempre diminuindo para
.
Passo 8
No intervalo
,
é negativo, ou seja,
está sempre diminuindo. Uma função que é estritamente crescente ou decrescente em um intervalo pode ter no máximo uma raiz nesse intervalo, porque ela não “sobe e desce” novamente para cruzar o eixo
mais de uma vez.
Passo 9
Como já mostramos que existe pelo menos uma raiz em
e que a função só pode ter uma única raiz nesse intervalo devido à sua monotonicidade, concluímos que a raiz é única.
Resposta
A função
tem exatamente uma raiz no intervalo
.
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por
:
e
Calcule, pelo método da bissecção, uma aproximação da raiz em cada item abaixo com tolerância (precisão) de
.
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.