Mostre que a função possui pelos menos uma raiz no intervalo [-2, 0]. Em seguida mostre que essa raiz é única.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa mostrar que a função tem pelo menos uma raiz no intervalo e, depois, provar que essa raiz é única. Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo, como o Teorema do Valor Intermediário e a análise da derivada para verificar a unicidade da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter uma raiz da função no intervalo . Uma raiz é um ponto onde . Ou seja, queremos encontrar um valor de nesse intervalo que faz com que .

Passo 3

Para mostrar que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário. Esse teorema diz que se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos um ponto entre eles onde .

Passo 4

Vamos calcular e :
Ops, parece que ambos são negativos! Vamos revisar:
Na verdade,
Agora sim, (positivo) e (negativo).

Passo 5

Como e , e sabendo que é contínua (porque é uma combinação de funções contínuas), pelo Teorema do Valor Intermediário, deve existir pelo menos um no intervalo onde . Isso mostra que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 6

Agora, vamos provar que essa raiz é única. Para isso, vamos analisar a derivada de :

Passo 7

Vamos ver onde é positiva ou negativa:
  • Se , então e .
  • Se , e .
  • Se , e .
Isso significa que está sempre aumentando para e sempre diminuindo para .

Passo 8

No intervalo , é negativo, ou seja, está sempre diminuindo. Uma função que é estritamente crescente ou decrescente em um intervalo pode ter no máximo uma raiz nesse intervalo, porque ela não “sobe e desce” novamente para cruzar o eixo mais de uma vez.

Passo 9

Como já mostramos que existe pelo menos uma raiz em e que a função só pode ter uma única raiz nesse intervalo devido à sua monotonicidade, concluímos que a raiz é única.

Resposta

A função tem exatamente uma raiz no intervalo .

Exercícios relacionados

Dadas as funções

pesquisar a existência de raízes reais e isolá-las em intervalos.
Calcule os erros absolutos e relativos na aproximação de por :
e
Calcule, pelo método da bissecção, uma aproximação da raiz em cada item abaixo com tolerância (precisão) de .
Calcule, pelo método da bissecção, uma aproximação da raiz em cada item abaixo com tolerância (precisão) de .