Calcule o momento de inércia de uma barra fina e homogênea de comprimento l e massa M em torno dos eixos perpendiculares à barra passando:
a) Pelo centro da barra;
b) Por uma extremidade da barra.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o momento de inércia de uma barra fina e homogênea com comprimento e massa . O momento de inércia é uma medida de como a massa está distribuída em relação a um eixo de rotação, e é super importante em física para entender movimentos rotacionais. Vamos precisar usar a fórmula do momento de inércia para uma barra fina e aplicar um pouco de cálculo básico.

Passo 2

Primeiro, vamos ver como calcular o momento de inércia em torno do centro da barra. Imagine a barra apoiada no meio dela e girando em torno desse ponto.
A fórmula para o momento de inércia ( Icentro = 112 M l^2 ) de uma barra fina e homogênea de comprimento e massa em relação a um eixo perpendicular pelo seu centro é:
Essa fórmula vem da integral que calcula a distribuição da massa ao longo do comprimento da barra em relação ao eixo de rotação.

Passo 3

Agora, vamos calcular o momento de inércia em torno de uma extremidade da barra. Para isso, usamos o Teorema de Steiner (ou Teorema dos Eixos Paralelos), que nos ajuda a encontrar o momento de inércia em um eixo paralelo ao eixo central.
O Teorema de Steiner diz que:
Iextremidade = Icentro + M ( l2 )^2
Aqui, Iextremidade = 112 M l^2 + M ( l2 )^2 = 112 M l^2 + 14 M l^2 = 13 M l^2 é a distância entre o centro da barra e a extremidade. Substituindo da Passo 2:

Resposta

a) O momento de inércia da barra em torno do centro é .
b) O momento de inércia da barra em torno de uma extremidade é .

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