Calcule o momento de inércia de uma barra fina e homogênea de comprimento
e massa
em torno dos eixos perpendiculares à barra passando:
a) Pelo centro da barra;
b) Por uma extremidade da barra.
a) Pelo centro da barra;
b) Por uma extremidade da barra.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o momento de inércia de uma barra fina e homogênea com comprimento
e massa
. O momento de inércia é uma medida de como a massa está distribuída em relação a um eixo de rotação, e é super importante em física para entender movimentos rotacionais. Vamos precisar usar a fórmula do momento de inércia para uma barra fina e aplicar um pouco de cálculo básico.
Passo 2
Primeiro, vamos ver como calcular o momento de inércia em torno do centro da barra. Imagine a barra apoiada no meio dela e girando em torno desse ponto.
A fórmula para o momento de inércia (
) de uma barra fina e homogênea de comprimento
e massa
em relação a um eixo perpendicular pelo seu centro é:
Essa fórmula vem da integral que calcula a distribuição da massa ao longo do comprimento da barra em relação ao eixo de rotação.
Passo 3
Agora, vamos calcular o momento de inércia em torno de uma extremidade da barra. Para isso, usamos o Teorema de Steiner (ou Teorema dos Eixos Paralelos), que nos ajuda a encontrar o momento de inércia em um eixo paralelo ao eixo central.
O Teorema de Steiner diz que:
Aqui,
é a distância entre o centro da barra e a extremidade. Substituindo
da Passo 2:
Resposta
a) O momento de inércia da barra em torno do centro é
.
b) O momento de inércia da barra em torno de uma extremidade é
.