Considere novamente o sistema do problema 20). Suponha que a partícula esteja sob ação de uma força de atrito cinético F=-F i. Calcule, separadamente, o torque sobre a partícula e mostre que ele é igual a taxa de variação do momento angular, em relação aos seguintes pontos:
a) Origem;
b) Ponto de coordenadas (x=0, y=b, z=0);

Passo 1

Vamos dar uma resumida no que a questão está pedindo. Temos uma partícula sujeita a uma força de atrito cinético F = -F i, ou seja, uma força na direção negativa do eixo x. A questão quer que calculemos o torque exercido sobre a partícula e mostremos que esse torque é igual à taxa de variação do momento angular da partícula em relação a dois pontos diferentes: a origem e o ponto (x=0, y=b, z=0). Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de torque, momento angular e como eles se relacionam através da segunda lei de Newton para o momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o torque. Torque é uma medida de quanto uma força tende a fazer um objeto girar em torno de um ponto ou eixo. A fórmula do torque ( tau) é dada pelo produto vetorial da posição ( r) em relação ao ponto de rotação e da força aplicada:
tau = r times F
Aqui, F = -F i é a força de atrito cinético.

Passo 3

Agora, vamos calcular o torque em relação à origem. Suponhamos que a posição da partícula em relação à origem seja r = x i + y j + z k. Aplicando a fórmula do torque:
tauori>=m = r times (-F i) = (x i + y j + z k) times (-F i)
Fazendo o produto vetorial, lembrando que i times i = 0, j times i = -k e k times i = j:
tauori>=m = -F y k + F z j

Passo 4

Agora, vamos calcular a taxa de variação do momento angular ( dLdt). O momento angular L é dado por:
L = r times p
onde p = m v é o momento linear da partícula. A derivada de L em relação ao tempo é:
dLdt = ddt (r times m v) = m ( drdt times v + r times dvdt )
Como drdt = v, o primeiro termo se anula, e temos:
dLdt = m r times dvdt = r times F
Isso mostra que:
tau = dLdt
Ou seja, o torque é igual à taxa de variação do momento angular.

Passo 5

Agora, vamos calcular o torque em relação ao ponto (x=0, y=b, z=0). Para isso, precisamos considerar a posição relativa da partícula em relação a esse novo ponto. A posição relativa r' será:
r' = r - a
onde a = 0 i + b j + 0 k é o vetor posição do ponto em relação à origem. Então:
r' = (x i + y j + z k) - (0 i + b j + 0 k) = x i + (y - b) j + z k
Agora, calculamos o torque em relação a esse ponto:
taunovo ponto = r' times (-F i) = (x i + (y - b) j + z k) times (-F i)
Fazendo o produto vetorial:
taunovo ponto = -F (y - b) k + F z j

Passo 6

De forma similar ao Passo 4, a taxa de variação do momento angular em relação ao novo ponto também será igual ao torque calculado:
taunovo ponto = dL'dt
onde L' é o momento angular em relação ao novo ponto. Portanto, mostramos que o torque em relação ao ponto (0, b, 0) também é igual à taxa de variação do momento angular.

Resposta

O torque exercido sobre a partícula em relação ao ponto (0, b, 0) é igual à taxa de variação do seu momento angular:
tau(0,b,0) = dL'dt

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