Considere novamente o sistema do problema 20). Suponha que a partícula esteja sob ação de uma força de atrito cinético
. Calcule, separadamente, o torque sobre a partícula e mostre que ele é igual a taxa de variação do momento angular, em relação aos seguintes pontos:
a) Origem;
b) Ponto de coordenadas
;
a) Origem;
b) Ponto de coordenadas
Passo 1
Vamos dar uma resumida no que a questão está pedindo. Temos uma partícula sujeita a uma força de atrito cinético
, ou seja, uma força na direção negativa do eixo x. A questão quer que calculemos o torque exercido sobre a partícula e mostremos que esse torque é igual à taxa de variação do momento angular da partícula em relação a dois pontos diferentes: a origem e o ponto
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de torque, momento angular e como eles se relacionam através da segunda lei de Newton para o momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o torque. Torque é uma medida de quanto uma força tende a fazer um objeto girar em torno de um ponto ou eixo. A fórmula do torque (
) é dada pelo produto vetorial da posição (
) em relação ao ponto de rotação e da força aplicada:
Aqui,
é a força de atrito cinético.
Passo 3
Agora, vamos calcular o torque em relação à origem. Suponhamos que a posição da partícula em relação à origem seja
. Aplicando a fórmula do torque:
Fazendo o produto vetorial, lembrando que
,
e
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a taxa de variação do momento angular (
). O momento angular
é dado por:
onde
é o momento linear da partícula. A derivada de
em relação ao tempo é:
Como
, o primeiro termo se anula, e temos:
Isso mostra que:
Ou seja, o torque é igual à taxa de variação do momento angular.
Passo 5
Agora, vamos calcular o torque em relação ao ponto
. Para isso, precisamos considerar a posição relativa da partícula em relação a esse novo ponto. A posição relativa
será:
onde
é o vetor posição do ponto em relação à origem. Então:
Agora, calculamos o torque em relação a esse ponto:
Fazendo o produto vetorial:
Passo 6
De forma similar ao Passo 4, a taxa de variação do momento angular em relação ao novo ponto também será igual ao torque calculado:
onde
é o momento angular em relação ao novo ponto. Portanto, mostramos que o torque em relação ao ponto
também é igual à taxa de variação do momento angular.
Resposta
O torque exercido sobre a partícula em relação ao ponto
é igual à taxa de variação do seu momento angular:
Exercícios relacionados
Uma partícula de massa
descreve uma trajetória circular de raio
, sobre o plano
e centrada na origem, com velocidade angular de magnitude
. Calcule o momento angular em relação aos seguintes pontos:
a) Origem;
b) Ponto sobre o eixo , com coordenada
neste eixo. Neste caso, dê a resposta em função
, o ângulo gerado pelo eixo
e o raio de giração partícula.
a) Origem;
b) Ponto sobre o eixo
Calcule o momento de inércia de uma barra fina e homogênea de comprimento
e massa
em torno dos eixos perpendiculares à barra passando:
a) Pelo centro da barra;
b) Por uma extremidade da barra.
a) Pelo centro da barra;
b) Por uma extremidade da barra.
Considere um anel delgado homogêneo de raio 1 m e massa 2 kg, disposto na vertical. O anel pode rodar sem atrito em torno de seu eixo de simetria (perpendicular ao plano do anel). Uma força de magnitude 10 N é aplicada no topo do anel, mantendo-se no plano do anel e fazendo um ângulo de
com a vertical. Qual a magnitude da aceleração angular do anel?
Uma esfera maciça, uma casca esférica, um cilindro maciço, uma casca cilíndrica, um disco e um anel delgado são soltos, a partir do repouso, do alto de uma rampa e rolam sem deslizar. Determine a ordem de chegada (mostre explicitamente).