Uma partícula de massa descreve uma trajetória circular de raio , sobre o plano e centrada na origem, com velocidade angular de magnitude . Calcule o momento angular em relação aos seguintes pontos:
a) Origem;
b) Ponto sobre o eixo , com coordenada neste eixo. Neste caso, dê a resposta em função , o ângulo gerado pelo eixo e o raio de giração partícula.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre momento angular! A gente tem uma partícula de massa que está se movendo em uma trajetória circular de raio no plano , centrada na origem, com uma velocidade angular . Precisamos calcular o momento angular dessa partícula em relação a dois pontos:
a) A origem;
b) Um ponto sobre o eixo na posição .
Para resolver isso, vamos lembrar que o momento angular ( ) depende da posição da partícula em relação ao ponto escolhido e de sua quantidade de movimento. Vamos usar algumas fórmulas básicas de cinemática e vetores para achar as respostas.

Passo 2

Vamos começar com a letra a): calcular o momento angular em relação à origem.
Primeiro, sabemos que o momento angular é dado por:
onde é o vetor posição da partícula em relação ao ponto de referência (neste caso, a origem) e é o momento linear da partícula.

Passo 3

No movimento circular, a velocidade linear da partícula está relacionada à velocidade angular por:
O momento linear é então:
onde é o vetor tangente à trajetória.

Passo 4

O vetor posição no plano pode ser escrito em coordenadas polares como:
onde é o ângulo que a partícula forma com o eixo .

Passo 5

Para encontrar o momento angular , vamos fazer o produto vetorial:
Calculando o produto vetorial das componentes:
Já que .

Passo 6

Simplificando, o momento angular em relação à origem é:
Ele aponta ao longo do eixo (na direção da ).

Passo 7

Agora, vamos para a letra b): calcular o momento angular em relação a um ponto no eixo com coordenada .
Primeiro, precisamos ajustar o vetor posição da partícula em relação a esse novo ponto. Se o ponto está a altura no eixo , o vetor posição relativo é:

Passo 8

O momento angular em relação a esse ponto é:
Usando , vamos calcular o produto vetorial.

Passo 9

Fazendo o produto vetorial:

Passo 10

Resolvendo cada componente:
  • O termo e são zero.
  • O termo com e .
Após os cálculos, obtemos:

Passo 11

Agora, usando a definição de raio de giração e o ângulo , podemos expressar a resposta em termos de e . O raio de giração está relacionado à distância efetiva onde a massa poderia estar concentrada para manter o mesmo momento de inércia.

Resposta

a) O momento angular em relação à origem é .
b) O momento angular em relação ao ponto no eixo em height é:
em função do ângulo e do raio de giração.

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