Uma partícula de massa
descreve uma trajetória circular de raio
, sobre o plano
e centrada na origem, com velocidade angular de magnitude
. Calcule o momento angular em relação aos seguintes pontos:
a) Origem;
b) Ponto sobre o eixo
, com coordenada
neste eixo. Neste caso, dê a resposta em função
, o ângulo gerado pelo eixo
e o raio de giração partícula.
a) Origem;
b) Ponto sobre o eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre momento angular! A gente tem uma partícula de massa
que está se movendo em uma trajetória circular de raio
no plano
, centrada na origem, com uma velocidade angular
. Precisamos calcular o momento angular dessa partícula em relação a dois pontos:
a) A origem;
b) Um ponto sobre o eixo na posição
.
a) A origem;
b) Um ponto sobre o eixo
Para resolver isso, vamos lembrar que o momento angular (
) depende da posição da partícula em relação ao ponto escolhido e de sua quantidade de movimento. Vamos usar algumas fórmulas básicas de cinemática e vetores para achar as respostas.
Passo 2
Vamos começar com a letra a): calcular o momento angular em relação à origem.
Primeiro, sabemos que o momento angular é dado por:
onde
é o vetor posição da partícula em relação ao ponto de referência (neste caso, a origem) e
é o momento linear da partícula.
Passo 3
No movimento circular, a velocidade linear
da partícula está relacionada à velocidade angular
por:
O momento linear
é então:
onde
é o vetor tangente à trajetória.
Passo 4
O vetor posição
no plano
pode ser escrito em coordenadas polares como:
onde
é o ângulo que a partícula forma com o eixo
.
Passo 5
Para encontrar o momento angular
, vamos fazer o produto vetorial:
Calculando o produto vetorial das componentes:
Já que
.
Passo 6
Simplificando, o momento angular em relação à origem é:
Ele aponta ao longo do eixo
(na direção da
).
Passo 7
Agora, vamos para a letra b): calcular o momento angular em relação a um ponto no eixo
com coordenada
.
Primeiro, precisamos ajustar o vetor posição da partícula em relação a esse novo ponto. Se o ponto está a altura
no eixo
, o vetor posição relativo
é:
Passo 8
O momento angular em relação a esse ponto é:
Usando
, vamos calcular o produto vetorial.
Passo 9
Fazendo o produto vetorial:
Passo 10
Resolvendo cada componente:
- O termo
e são zero. - O termo com
e .
Após os cálculos, obtemos:
Passo 11
Agora, usando a definição de raio de giração
e o ângulo
, podemos expressar a resposta em termos de
e
. O raio de giração está relacionado à distância efetiva onde a massa poderia estar concentrada para manter o mesmo momento de inércia.
Resposta
a) O momento angular em relação à origem é
.
b) O momento angular em relação ao ponto no eixo
em height
é:
em função do ângulo
e do raio de giração.