Uma partícula de massa m descreve uma trajetória circular de raio R, sobre o plano x y e centrada na origem, com velocidade angular de magnitude omega. Calcule o momento angular em relação aos seguintes pontos:
a) Origem;
b) Ponto sobre o eixo z, com coordenada h neste eixo. Neste caso, dê a resposta em função theta, o ângulo gerado pelo eixo x e o raio de giração partícula.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre momento angular! A gente tem uma partícula de massa que está se movendo em uma trajetória circular de raio no plano , centrada na origem, com uma velocidade angular . Precisamos calcular o momento angular dessa partícula em relação a dois pontos:
a) A origem;
b) Um ponto sobre o eixo na posição .
Para resolver isso, vamos lembrar que o momento angular ( ) depende da posição da partícula em relação ao ponto escolhido e de sua quantidade de movimento. Vamos usar algumas fórmulas básicas de cinemática e vetores para achar as respostas.

Passo 2

Vamos começar com a letra a): calcular o momento angular em relação à origem.
Primeiro, sabemos que o momento angular é dado por:
L = r times p
onde é o vetor posição da partícula em relação ao ponto de referência (neste caso, a origem) e é o momento linear da partícula.

Passo 3

No movimento circular, a velocidade linear v = omega R da partícula está relacionada à velocidade angular p = m v = m omega R , t por:
O momento linear é então:
onde é o vetor tangente à trajetória.

Passo 4

O vetor posição r = R costheta , i + R sintheta , j no plano pode ser escrito em coordenadas polares como:
onde é o ângulo que a partícula forma com o eixo .

Passo 5

Para encontrar o momento angular L = r times mv , vamos fazer o produto vetorial:
L = m R costheta (omega R , j) - m R sintheta (omega R , i) = m omega R^2 (costheta , k)
Calculando o produto vetorial das componentes:
Já que .

Passo 6

Simplificando, o momento angular em relação à origem é:
L = m omega R^2
Ele aponta ao longo do eixo (na direção da ).

Passo 7

Agora, vamos para a letra b): calcular o momento angular em relação a um ponto no eixo r' = r - h k = R costheta , i + R sintheta , j - h k com coordenada .
Primeiro, precisamos ajustar o vetor posição da partícula em relação a esse novo ponto. Se o ponto está a altura no eixo , o vetor posição relativo é:

Passo 8

O momento angular em relação a esse ponto é:
L' = r' times mv
Usando , vamos calcular o produto vetorial.

Passo 9

Fazendo o produto vetorial:
L' = (R costheta , i + R sintheta , j - h k) times momega R (-sintheta , i + costheta , j)

Passo 10

Resolvendo cada componente:
  • O termo L' = m omega R^2 k + m omega R h (costheta , i + sintheta , j) e são zero.
  • O termo com e .
Após os cálculos, obtemos:

Passo 11

Agora, usando a definição de raio de giração e o ângulo , podemos expressar a resposta em termos de e . O raio de giração está relacionado à distância efetiva onde a massa poderia estar concentrada para manter o mesmo momento de inércia.

Resposta

a) O momento angular em relação à origem é L' = m omega R^2 k + m omega R h (costheta , i + sintheta , j) .
b) O momento angular em relação ao ponto no eixo em height é:
em função do ângulo e do raio de giração.

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