Calcule o momento de inércia de uma barra de massa M e comprimento L em relação a um eixo que passa por uma de suas extremidades. A massa da barra encontra-se uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre momento de inércia! A gente tem uma barra com massa e comprimento , e precisamos calcular o momento de inércia dela em relação a um eixo que passa por uma das extremidades. A barra tem a massa distribuída de forma uniforme, o que facilita um pouco as coisas. Para resolver isso, vamos usar a definição de momento de inércia e fazer umas integrações básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de inércia. Ele basicamente mede como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. A fórmula geral para o momento de inércia I = integral r^2 , dm é:
Aqui, é a distância de um elemento de massa ao eixo de rotação.

Passo 3

Como a barra tem massa uniformemente distribuída, a massa por unidade de comprimento (chamada de densidade linear) é:
lambda = ML
Então, podemos expressar um elemento de massa dm = lambda , dx = ML , dx em termos de um pequeno pedaço de comprimento :

Passo 4

Agora, vamos substituir I = integral0^L x^2 ( ML ) dx na fórmula do momento de inércia:
I = ML integral0^L x^2 , dx = ML [ x^33 ]0^L = ML ( L^33 - 0 ) = M L^23
Fazemos a integral de de 0 a :

Resposta

O momento de inércia da barra em relação ao eixo que passa por uma de suas extremidades é:
I = 13 M L^2

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