Calcule o momento de inércia de uma barra de massa e comprimento em relação a um eixo que passa por uma de suas extremidades. A massa da barra encontra-se uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre momento de inércia! A gente tem uma barra com massa e comprimento , e precisamos calcular o momento de inércia dela em relação a um eixo que passa por uma das extremidades. A barra tem a massa distribuída de forma uniforme, o que facilita um pouco as coisas. Para resolver isso, vamos usar a definição de momento de inércia e fazer umas integrações básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de inércia. Ele basicamente mede como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. A fórmula geral para o momento de inércia é:
Aqui, é a distância de um elemento de massa ao eixo de rotação.

Passo 3

Como a barra tem massa uniformemente distribuída, a massa por unidade de comprimento (chamada de densidade linear) é:
Então, podemos expressar um elemento de massa em termos de um pequeno pedaço de comprimento :

Passo 4

Agora, vamos substituir na fórmula do momento de inércia:
Fazemos a integral de de 0 a :

Resposta

O momento de inércia da barra em relação ao eixo que passa por uma de suas extremidades é:

Exercícios relacionados

Uma partícula de está se movendo ao longo do eixo x , sem atrito, com uma velocidade de quando passa pela posição . Ela está sujeita a uma força que varia com a posição, conforme mostrado no gráfico 1.
Questão 5) Qual é o trabalho realizado pela força sobre a partícula de até , sendo ? (10 pontos)
[
C
E
G
I
B
D
F
[H]
J
USE SOMENTE ESTA REGIÃO PARA RESOLUÇÃO DESTA QUESTÃO.
A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo é dada por , em que está em centímetros e em segundos. Plote o gráfico de em função de e indique suas respostas graficamente.
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