Calcule o momento de inércia de uma barra de massa
e comprimento
em relação a um eixo que passa por uma de suas extremidades. A massa da barra encontra-se uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre momento de inércia! A gente tem uma barra com massa
e comprimento
, e precisamos calcular o momento de inércia dela em relação a um eixo que passa por uma das extremidades. A barra tem a massa distribuída de forma uniforme, o que facilita um pouco as coisas. Para resolver isso, vamos usar a definição de momento de inércia e fazer umas integrações básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de inércia. Ele basicamente mede como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. A fórmula geral para o momento de inércia
é:
Aqui,
é a distância de um elemento de massa
ao eixo de rotação.
Passo 3
Como a barra tem massa uniformemente distribuída, a massa por unidade de comprimento (chamada de densidade linear) é:
Então, podemos expressar um elemento de massa
em termos de um pequeno pedaço de comprimento
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
na fórmula do momento de inércia:
Fazemos a integral de
de 0 a
:
Resposta
O momento de inércia da barra em relação ao eixo que passa por uma de suas extremidades é: