Duas patinadoras, cada uma com massa igual a , se aproximam uma da outra ao longo de trajetórias paralelas separadas por uma distância . As patinadoras têm velocidades opostas, de módulo . Uma das patinadoras carrega uma baliza longa de massa desprezível, segurando-a por uma das extremidades. Quando a outra patinadora passa pela primeira, ela se agarra à extremidade livre da baliza. As patinadoras passam então a girar em torno do centro da baliza. Suponha que o atrito entre as patinadoras e o gelo seja desprezível. Qual é a velocidade angular das patinadoras?

Passo 1

Resumo do Enunciado: Temos duas patinadoras, cada uma com massa , que se movem em direções opostas com velocidade e estão separadas por uma distância . Uma delas segura uma baliza, e quando a segunda patinadora se conecta à outra extremidade da baliza, ambas começam a girar em torno do centro da baliza. Queremos descobrir qual é a velocidade angular delas após se unirem.
Conteúdo da Matéria: Para resolver esse problema, vamos usar o conceito de Conservação do Momento Angular. Esse princípio nos diz que, se não houver torques externos agindo sobre o sistema, o momento angular total antes da interação será igual ao momento angular total depois.
O que Precisamos: Precisamos calcular o momento angular inicial das patinadoras antes de se unirem e o momento angular final depois que elas começam a girar juntas. Em seguida, aplicaremos a conservação desse momento angular para encontrar a velocidade angular .

Passo 2

Momento Angular Inicial: Antes de se unirem, cada patinadora está se movendo em linha reta com velocidade . O momento angular ( ) de uma partícula em movimento é dado por , onde é a distância do ponto de rotação (neste caso, o centro da baliza) e é o momento linear ( ).
Como as patinadoras estão se movendo em direções opostas, mas ambas contribuem para o momento angular no mesmo sentido em relação ao centro da baliza, o momento angular total inicial será a soma dos momentos angulares de cada uma.

Passo 3

Calculando o Momento Angular Total Inicial:
  • Para uma patinadora:
  • Como são duas patinadoras:
Portanto, o momento angular total antes de se unirem é:

Passo 4

Momento Angular Final: Após se unirem, as patinadoras passam a girar juntas em torno do centro da baliza com uma velocidade angular . O momento angular final é dado por:
onde é o momento de inércia do sistema.
Calculando o Momento de Inércia ( ):
  • Cada patinadora está a uma distância do centro da baliza.
  • O momento de inércia para uma patinadora é
  • Como são duas patinadoras:
Portanto:

Passo 5

Aplicando a Conservação do Momento Angular:
Segundo a conservação, .

Passo 6

Isolando a Velocidade Angular ( ):
Para encontrar , dividimos os dois lados da equação por :

Resposta

A velocidade angular das patinadoras é:

Exercícios relacionados

Duas crianças, cada uma com massa , sentam-se nas extremidades opostas de uma barra de comprimento e massa também . A barra possui uma suspensão em seu centro e pode girar livremente em torno de um eixo vertical, num plano horizontal. Determine o momento de inércia da barra juntamente com as crianças em relação ao mesmo eixo.
Calcule o momento de inércia de uma barra de massa e comprimento em relação a um eixo que passa por uma de suas extremidades. A massa da barra encontra-se uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento.
Uma hélice construída com quatro tábuas idênticas, de modo a formar quatro ângulos retos (ver figura), gira sem atrito com velocidade torno de um eixo preso ao seu centro. O momento de inércia do sistema em relação a esse eixo é e o raio da hélice é . Um menino atira no topo de uma das tábuas uma geléia de massa que atinge a tábua perpendicularmente com uma velocidade e fica grudada nela.
Em um parque de diversões, há um pequeno carrossel de raio e massa . O carrossel consiste, na verdade, de um cilindro, que pode girar em torno de seu eixo vertical. Uma criança de massa corre com velocidade em direção a um ponto do carrossel, sendo que a projeção da linha que dá a direção de seu movimento passa a uma distância do eixo do carrossel. A criança pula sobre o carrossel quando este está parado e se agarra a ele, ficando em sua borda.