Duas patinadoras, cada uma com massa igual a m, se aproximam uma da outra ao longo de trajetórias paralelas separadas por uma distância d0. As patinadoras têm velocidades opostas, de módulo v. Uma das patinadoras carrega uma baliza longa de massa desprezível, segurando-a por uma das extremidades. Quando a outra patinadora passa pela primeira, ela se agarra à extremidade livre da baliza. As patinadoras passam então a girar em torno do centro da baliza. Suponha que o atrito entre as patinadoras e o gelo seja desprezível. Qual é a velocidade angular das patinadoras?

Passo 1

Resumo do Enunciado: Temos duas patinadoras, cada uma com massa m, que se movem em direções opostas com velocidade v e estão separadas por uma distância d0. Uma delas segura uma baliza, e quando a segunda patinadora se conecta à outra extremidade da baliza, ambas começam a girar em torno do centro da baliza. Queremos descobrir qual é a velocidade angular omega delas após se unirem.
Conteúdo da Matéria: Para resolver esse problema, vamos usar o conceito de Conservação do Momento Angular. Esse princípio nos diz que, se não houver torques externos agindo sobre o sistema, o momento angular total antes da interação será igual ao momento angular total depois.
O que Precisamos: Precisamos calcular o momento angular inicial das patinadoras antes de se unirem e o momento angular final depois que elas começam a girar juntas. Em seguida, aplicaremos a conservação desse momento angular para encontrar a velocidade angular omega.

Passo 2

Momento Angular Inicial: Antes de se unirem, cada patinadora está se movendo em linha reta com velocidade v. O momento angular ( L) de uma partícula em movimento é dado por L = r times p, onde r é a distância do ponto de rotação (neste caso, o centro da baliza) e p é o momento linear ( p = m cdot v).
Como as patinadoras estão se movendo em direções opostas, mas ambas contribuem para o momento angular no mesmo sentido em relação ao centro da baliza, o momento angular total inicial será a soma dos momentos angulares de cada uma.

Passo 3

Calculando o Momento Angular Total Inicial:
  • Para uma patinadora: L1 = m cdot v cdot d0
  • Como são duas patinadoras: Linicial = L1 + L2 = 2 cdot m cdot v cdot d0
Portanto, o momento angular total antes de se unirem é:
Linicial = 2mv d0

Passo 4

Momento Angular Final: Após se unirem, as patinadoras passam a girar juntas em torno do centro da baliza com uma velocidade angular omega. O momento angular final é dado por:
Lfinal = I cdot omega
onde I é o momento de inércia do sistema.
Calculando o Momento de Inércia ( I):
  • Cada patinadora está a uma distância d0 do centro da baliza.
  • O momento de inércia para uma patinadora é I1 = m cdot d0^2
  • Como são duas patinadoras: I = I1 + I2 = 2m d0^2
Portanto:
Lfinal = 2m d0^2 cdot omega

Passo 5

Aplicando a Conservação do Momento Angular:
Segundo a conservação, Linicial = Lfinal.
2mv d0 = 2m d0^2 cdot omega

Passo 6

Isolando a Velocidade Angular ( omega):
Para encontrar omega, dividimos os dois lados da equação por 2m d0^2:
omega = 2mv d02m d0^2 = vd0

Resposta

A velocidade angular das patinadoras é:
omega = vd0

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