Duas patinadoras, cada uma com massa igual a
, se aproximam uma da outra ao longo de trajetórias paralelas separadas por uma distância
. As patinadoras têm velocidades opostas, de módulo
. Uma das patinadoras carrega uma baliza longa de massa desprezível, segurando-a por uma das extremidades. Quando a outra patinadora passa pela primeira, ela se agarra à extremidade livre da baliza. As patinadoras passam então a girar em torno do centro da baliza. Suponha que o atrito entre as patinadoras e o gelo seja desprezível. Qual é a velocidade angular das patinadoras?
Passo 1
Resumo do Enunciado: Temos duas patinadoras, cada uma com massa
, que se movem em direções opostas com velocidade
e estão separadas por uma distância
. Uma delas segura uma baliza, e quando a segunda patinadora se conecta à outra extremidade da baliza, ambas começam a girar em torno do centro da baliza. Queremos descobrir qual é a velocidade angular
delas após se unirem.
Conteúdo da Matéria: Para resolver esse problema, vamos usar o conceito de Conservação do Momento Angular. Esse princípio nos diz que, se não houver torques externos agindo sobre o sistema, o momento angular total antes da interação será igual ao momento angular total depois.
O que Precisamos: Precisamos calcular o momento angular inicial das patinadoras antes de se unirem e o momento angular final depois que elas começam a girar juntas. Em seguida, aplicaremos a conservação desse momento angular para encontrar a velocidade angular
.
Passo 2
Momento Angular Inicial: Antes de se unirem, cada patinadora está se movendo em linha reta com velocidade
. O momento angular (
) de uma partícula em movimento é dado por
, onde
é a distância do ponto de rotação (neste caso, o centro da baliza) e
é o momento linear (
).
Como as patinadoras estão se movendo em direções opostas, mas ambas contribuem para o momento angular no mesmo sentido em relação ao centro da baliza, o momento angular total inicial será a soma dos momentos angulares de cada uma.
Passo 3
Calculando o Momento Angular Total Inicial:
- Para uma patinadora:
- Como são duas patinadoras:
Portanto, o momento angular total antes de se unirem é:
Passo 4
Momento Angular Final: Após se unirem, as patinadoras passam a girar juntas em torno do centro da baliza com uma velocidade angular
. O momento angular final é dado por:
onde
é o momento de inércia do sistema.
Calculando o Momento de Inércia (
):
- Cada patinadora está a uma distância
do centro da baliza. - O momento de inércia para uma patinadora é
- Como são duas patinadoras:
Portanto:
Passo 5
Aplicando a Conservação do Momento Angular:
Segundo a conservação, .
Segundo a conservação,
Passo 6
Isolando a Velocidade Angular (
):
Para encontrar , dividimos os dois lados da equação por
:
Para encontrar
Resposta
A velocidade angular das patinadoras é:
Exercícios relacionados
Duas crianças, cada uma com massa
, sentam-se nas extremidades opostas de uma barra de comprimento
e massa também
. A barra possui uma suspensão em seu centro e pode girar livremente em torno de um eixo vertical, num plano horizontal. Determine o momento de inércia da barra juntamente com as crianças em relação ao mesmo eixo.
Calcule o momento de inércia de uma barra de massa
e comprimento
em relação a um eixo que passa por uma de suas extremidades. A massa da barra encontra-se uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento.
Uma hélice construída com quatro tábuas idênticas, de modo a formar quatro ângulos retos (ver figura), gira sem atrito com velocidade
torno de um eixo preso ao seu centro. O momento de inércia do sistema em relação a esse eixo é
e o raio da hélice é
. Um menino atira no topo de uma das tábuas uma geléia de massa
que atinge a tábua perpendicularmente com uma velocidade
e fica grudada nela.
Em um parque de diversões, há um pequeno carrossel de raio
e massa
. O carrossel consiste, na verdade, de um cilindro, que pode girar em torno de seu eixo vertical. Uma criança de massa
corre com velocidade
em direção a um ponto do carrossel, sendo que a projeção da linha que dá a direção de seu movimento passa a uma distância
do eixo do carrossel. A criança pula sobre o carrossel quando este está parado e se agarra a ele, ficando em sua borda.