Duas crianças, cada uma com massa
, sentam-se nas extremidades opostas de uma barra de comprimento
e massa também
. A barra possui uma suspensão em seu centro e pode girar livremente em torno de um eixo vertical, num plano horizontal. Determine o momento de inércia da barra juntamente com as crianças em relação ao mesmo eixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas crianças, cada uma com massa
, que estão nas extremidades de uma barra também com massa
e comprimento
. A barra está suspensa no centro e pode girar livremente. A gente precisa descobrir o momento de inércia total desse sistema em relação ao eixo de rotação.
Conteúdo da matéria: Momento de inércia, que é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação.
O que vamos precisar: As fórmulas para o momento de inércia de uma barra girando em torno do seu centro e para um ponto de massa a uma certa distância do eixo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o momento de inércia da própria barra. Para uma barra uniforme girando em torno do seu centro, a fórmula é:
Aqui,
é a massa da barra e
é o comprimento.
Passo 3
Agora, vamos calcular o momento de inércia de cada criança. Como as crianças estão nas extremidades da barra, cada uma está a uma distância de
do eixo de rotação. Para um ponto de massa, o momento de inércia é dado por:
Onde
é a massa da criança (
) e
é a distância do eixo (
). Então, para cada criança:
Como são duas crianças, o momento de inércia total das crianças é:
Passo 4
Por fim, somamos os momentos de inércia da barra e das duas crianças para obter o momento de inércia total do sistema:
Para somar essas frações, colocamos tudo com denominador 12:
Resposta
O momento de inércia total da barra com as duas crianças em relação ao eixo de rotação é: