Duas crianças, cada uma com massa M, sentam-se nas extremidades opostas de uma barra de comprimento L e massa também M. A barra possui uma suspensão em seu centro e pode girar livremente em torno de um eixo vertical, num plano horizontal. Determine o momento de inércia da barra juntamente com as crianças em relação ao mesmo eixo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas crianças, cada uma com massa , que estão nas extremidades de uma barra também com massa e comprimento . A barra está suspensa no centro e pode girar livremente. A gente precisa descobrir o momento de inércia total desse sistema em relação ao eixo de rotação.
Conteúdo da matéria: Momento de inércia, que é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação.
O que vamos precisar: As fórmulas para o momento de inércia de uma barra girando em torno do seu centro e para um ponto de massa a uma certa distância do eixo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento de inércia da própria barra. Para uma barra uniforme girando em torno do seu centro, a fórmula é:
Ibarra = 112 M L^2
Aqui, é a massa da barra e é o comprimento.

Passo 3

Agora, vamos calcular o momento de inércia de cada criança. Como as crianças estão nas extremidades da barra, cada uma está a uma distância de Icriança = m r^2 do eixo de rotação. Para um ponto de massa, o momento de inércia é dado por:
Icriança = M ( L2 )^2 = M L^24 ç
Onde Icrianças total = 2 times M L^24 = M L^22 é a massa da criança ( ) e é a distância do eixo ( ). Então, para cada criança:
ç
Como são duas crianças, o momento de inércia total das crianças é:
ç

Passo 4

Por fim, somamos os momentos de inércia da barra e das duas crianças para obter o momento de inércia total do sistema:
Itotal = Ibarra + Icrianças total = 112 M L^2 + 12 M L^2 ç
Para somar essas frações, colocamos tudo com denominador 12:
Itotal = 112 M L^2 + 612 M L^2 = 712 M L^2

Resposta

O momento de inércia total da barra com as duas crianças em relação ao eixo de rotação é:
Itotal = 712 M L^2

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