Calcule o momento de inércia de um cilindro homogêneo de raio interno R1, raio externo R2 e massa M em relação ao eixo do cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o momento de inércia de um cilindro homogêneo com raio interno , raio externo e massa em relação ao eixo do cilindro. Isso está relacionado à Mecânica Rotacional, especificamente ao conceito de Momento de Inércia. Para resolver, vamos precisar usar cálculo integral e entender como a massa está distribuída no cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento de inércia ( I = integral r^2 , dm ) mede como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. A fórmula geral é:
onde é a distância de um elemento de massa ( ) ao eixo de rotação.

Passo 3

Como o cilindro é homogêneo (massa distribuída uniformemente), podemos expressar a massa por unidade de comprimento radial. A área de um anel infinitesimal com raio dA = 2pi r , dr e espessura sigma = Mpi (R2^2 - R1^2) é:
A densidade de massa superficial ( ) é:

Passo 4

Agora, a massa de um anel dm = sigma , dA = sigma cdot 2pi r , dr é dado por:
dm = Mpi (R2^2 - R1^2) cdot 2pi r , dr = 2M r , drR2^2 - R1^2
Substituindo :

Passo 5

Substituímos I = integralR1^R2 r^2 cdot 2M rR2^2 - R1^2 , dr = 2MR2^2 - R1^2 integralR1^R2 r^3 , dr na fórmula do momento de inércia:

Passo 6

Calculamos a integral:
integral r^3 , dr = r^44
Então:

Passo 7

Simplificando a expressão:
I = M (R2^4 - R1^4)2(R2^2 - R1^2)
Podemos fatorar I = M (R2^2 + R1^2)2 como , então:

Resposta

O momento de inércia do cilindro é:
I = M (R1^2 + R2^2)2

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