Calcule o momento de inércia de um cilindro homogêneo de raio interno
, raio externo
e massa
em relação ao eixo do cilindro.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o momento de inércia de um cilindro homogêneo com raio interno
, raio externo
e massa
em relação ao eixo do cilindro. Isso está relacionado à Mecânica Rotacional, especificamente ao conceito de Momento de Inércia. Para resolver, vamos precisar usar cálculo integral e entender como a massa está distribuída no cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento de inércia (
) mede como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. A fórmula geral é:
onde
é a distância de um elemento de massa (
) ao eixo de rotação.
Passo 3
Como o cilindro é homogêneo (massa distribuída uniformemente), podemos expressar a massa por unidade de comprimento radial. A área de um anel infinitesimal com raio
e espessura
é:
A densidade de massa superficial (
) é:
Passo 4
Agora, a massa de um anel
é dado por:
Substituindo
:
Passo 5
Substituímos
na fórmula do momento de inércia:
Passo 6
Calculamos a integral:
Então:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Podemos fatorar
como
, então:
Resposta
O momento de inércia do cilindro é:
Exercícios relacionados
Considere um corpo rígido rodando em torno do eixo
com velocidade angular
. Calcule o vetor aceleração do ponto do corpo rígido com coordenada
, quando:
a) A velocidade angular é constante.
b) A velocidade angular é dada por , onde
é constante.
a) A velocidade angular é constante.
b) A velocidade angular é dada por
Duas polias estão acopladas por uma correia inextensível e que não desliza. A polia 1 possui raio
, velocidade angular
e aceleração angular
.
a) Verifique quais são a velocidade angular e a aceleração angular da polia 2, a qual possui raio .
b) A polia 1 possui um raio de , aceleração angular de
e frequência angular inicial de
. Já a polia 2 possui raio de
. Qual o intervalo de tempo até que a polia 2 atinja uma velocidade angular igual a velocidade angular inicial da polia 1 ?
a) Verifique quais são a velocidade angular e a aceleração angular da polia 2, a qual possui raio
b) A polia 1 possui um raio de
Uma partícula segue em movimento circular no plano, com posição angular dada por
. Qual a aceleração angular da partícula no instante
?
Um carro possui velocidade inicial de
no instante em que o motorista pisa no freio. O carro percorre uma distância de 5 m, sem derrapar, até parar completamente. Se o raio dos pneus é
, e supondo que o veículo desacelere de maneira constante, qual a aceleração angular das rodas?