Calcule o momento de inércia de um cilindro homogêneo de raio interno , raio externo e massa em relação ao eixo do cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o momento de inércia de um cilindro homogêneo com raio interno , raio externo e massa em relação ao eixo do cilindro. Isso está relacionado à Mecânica Rotacional, especificamente ao conceito de Momento de Inércia. Para resolver, vamos precisar usar cálculo integral e entender como a massa está distribuída no cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento de inércia ( ) mede como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. A fórmula geral é:
onde é a distância de um elemento de massa ( ) ao eixo de rotação.

Passo 3

Como o cilindro é homogêneo (massa distribuída uniformemente), podemos expressar a massa por unidade de comprimento radial. A área de um anel infinitesimal com raio e espessura é:
A densidade de massa superficial ( ) é:

Passo 4

Agora, a massa de um anel é dado por:
Substituindo :

Passo 5

Substituímos na fórmula do momento de inércia:

Passo 6

Calculamos a integral:
Então:

Passo 7

Simplificando a expressão:
Podemos fatorar como , então:

Resposta

O momento de inércia do cilindro é:

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a) A velocidade angular é constante.
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