Uma partícula segue em movimento circular no plano, com posição angular dada por theta(t)=3 sen(4 t). Qual a aceleração angular da partícula no instante pi / 8 s ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma partícula que está se movendo em um movimento circular, e a posição angular dela é dada pela função . O que queremos descobrir é qual a aceleração angular dessa partícula no instante segundos. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas, já que aceleração angular envolve derivar a velocidade angular.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular da partícula. A velocidade angular é a derivada da posição angular em relação ao tempo. Ou seja:
omega(t) = dtheta(t)dt
Dado , vamos derivar:
omega(t) = 3 cdot 4 cos(4 t) = 12 cos(4 t)

Passo 3

Agora que temos a velocidade angular, vamos para a aceleração angular, que é a derivada da velocidade angular em relação ao tempo:
alpha(t) = domega(t)dt
Derivando alpha(t) = 12 cdot (-4) sen(4 t) = -48 sen(4 t) :

Passo 4

Com a expressão da aceleração angular , vamos substituir alpha(pi8) = -48 sen(4 cdot pi8) = -48 sen(pi2) para encontrar o valor desejado:
Sabemos que , então:
alpha(pi8) = -48 cdot 1 = -48 , rad/s^2

Resposta

A aceleração angular da partícula no instante segundos é .

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