(a) Calcule o momento de inércia de uma régua de um metro, com uma massa de 0,56 kg, em relação a um eixo perpendicular à régua que a atravessa na marca 20 cm (trate a régua como uma barra fina). (b) Se a régua gira com velocidade angular omega=4 rad / s em torno deste eixo, calcule sua energia cinética total.

Passo 1

Vamos lá! Temos uma régua de 1 metro de comprimento e massa de 0,56 kg. Precisamos calcular dois trecos: (a) o momento de inércia dessa régua em relação a um eixo que passa pela marca de 20 cm, e (b) a energia cinética total quando essa régua gira com uma velocidade angular de 4 rad/s. Para isso, vamos usar alguns conceitos de física sobre momento de inércia e energia cinética rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. Basicamente, ele mede quanta dificuldade uma forma tem para começar ou parar de girar em torno de um eixo. Quanto maior o momento de inércia, mais difícil é para girar o objeto.
No nosso caso, a régua é tratada como uma barra fina. O momento de inércia ( Icm = 112 M L^2 ) de uma barra fina de comprimento I = Icm + M d^2 e massa em relação ao seu centro de massa é dado por:
Mas atenção! Nosso eixo não está passando pelo centro da régua, e sim a 20 cm de uma das extremidades. Para calcular o momento de inércia nesse novo eixo, usamos o Teorema dos Eixos Paralelos, que diz:
Aqui, é a distância entre o centro de massa e o novo eixo.

Passo 3

Vamos calcular Icm = 112 times 0,56, kg times (1, m)^2 = 112 times 0,56 = 0,0467, kgcdotm^2 primeiro:
d = 50, cm - 20, cm = 30, cm = 0,3, m
Agora, precisamos achar , que é a distância entre o centro da régua e o ponto onde o eixo está localizado. A régua tem 1 metro, então seu centro está a 50 cm de cada extremidade. Como o eixo está a 20 cm de uma extremidade, a distância do centro até o eixo é:

Passo 4

Aplicando o Teorema dos Eixos Paralelos:
I = Icm + M d^2 = 0,0467, kgcdotm^2 + 0,56, kg times (0,3, m)^2
Calculando 0,56 times 0,09 = 0,0504, kgcdotm^2 :
I = 0,0467 + 0,0504 = 0,0971, kgcdotm^2
Somando com :

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). A energia cinética rotacional ( Ecinética = 12 I omega^2 é) é a energia que um objeto tem devido ao seu movimento de rotação. A fórmula para calcular isso é:
é
Onde:
  • é o momento de inércia que acabamos de calcular.
  • é a velocidade angular, que no caso é 4 rad/s.

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
Ecinética = 12 times 0,0971, kgcdotm^2 times (4, rad/s)^2 é
Primeiro, calculamos (4, rad/s)^2 = 16, rad^2/s^2 :
Ecinética = 0,5 times 0,0971 times 16 = 0,5 times 1,5536 = 0,7768, J
Agora, multiplicamos:
é

Resposta

(a) O momento de inércia da régua em relação ao eixo de 20 cm é aproximadamente .
(b) A energia cinética total da régua girando com a velocidade angular dada é aproximadamente .

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