(a) Calcule o momento de inércia de uma régua de um metro, com uma massa de
, em relação a um eixo perpendicular à régua que a atravessa na marca 20 cm (trate a régua como uma barra fina). (b) Se a régua gira com velocidade angular
em torno deste eixo, calcule sua energia cinética total.
Passo 1
Vamos lá! Temos uma régua de 1 metro de comprimento e massa de 0,56 kg. Precisamos calcular dois trecos: (a) o momento de inércia dessa régua em relação a um eixo que passa pela marca de 20 cm, e (b) a energia cinética total quando essa régua gira com uma velocidade angular de 4 rad/s. Para isso, vamos usar alguns conceitos de física sobre momento de inércia e energia cinética rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. Basicamente, ele mede quanta dificuldade uma forma tem para começar ou parar de girar em torno de um eixo. Quanto maior o momento de inércia, mais difícil é para girar o objeto.
No nosso caso, a régua é tratada como uma barra fina. O momento de inércia (
) de uma barra fina de comprimento
e massa
em relação ao seu centro de massa é dado por:
Mas atenção! Nosso eixo não está passando pelo centro da régua, e sim a 20 cm de uma das extremidades. Para calcular o momento de inércia nesse novo eixo, usamos o Teorema dos Eixos Paralelos, que diz:
Aqui,
é a distância entre o centro de massa e o novo eixo.
Passo 3
Vamos calcular
primeiro:
Agora, precisamos achar
, que é a distância entre o centro da régua e o ponto onde o eixo está localizado. A régua tem 1 metro, então seu centro está a 50 cm de cada extremidade. Como o eixo está a 20 cm de uma extremidade, a distância do centro até o eixo é:
Passo 4
Aplicando o Teorema dos Eixos Paralelos:
Calculando
:
Somando com
:
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b). A energia cinética rotacional (
) é a energia que um objeto tem devido ao seu movimento de rotação. A fórmula para calcular isso é:
Onde:
-
é o momento de inércia que acabamos de calcular. -
é a velocidade angular, que no caso é 4 rad/s.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Primeiro, calculamos
:
Agora, multiplicamos:
Resposta
(a) O momento de inércia da régua em relação ao eixo de 20 cm é aproximadamente
.
(b) A energia cinética total da régua girando com a velocidade angular dada é aproximadamente
.